Kontrol Sisteminin Durum Uzayı Analizi

Sizinle kontrol sisteminin durum uzay analizi kavramını tanıtmadan önce, geleneksel kontrol teorisi ile modern kontrol teorisi arasındaki farkları tartışmak çok önemlidir.

1. Geleneksel kontrol teorisi tamamen frekans domeni yaklaşımına dayanırken, modern kontrol sistem teorisi zaman domeni yaklaşımına dayanır.

2. Geleneksel kontrol teorisinde sadece doğrusal ve zamanla değişmeyen tek giriş tek çıkış (SISO) sistemleri ele alırken, modern kontrol sistem teorisi sayesinde hatta doğrusal olmayan ve zamanla değişen çoklu giriş çoklu çıkış (MIMO) sistemlerinin analizini de kolayca yapabiliriz.

3. Modern kontrol sistem teorisinde, istikrar analizi ve zaman yanıtı analizi hem grafiksel hem de analitik yöntemlerle kolayca yapılabilir.

Şimdi kontrol sisteminin durum uzay analizi modern teoriye dayanır ve bu teori tek giriş tek çıkış sistemleri, çoklu giriş çoklu çıkış sistemleri, doğrusal ve doğrusal olmayan sistemleri, zamanla değişen ve zamanla değişmeyen sistemlere uygulanabilir. Modern kontrol sistemler teorisinin durum uzay analiziyle ilgili bazı temel terimleri göz önünde bulunduralım.

1. Durum Uzay Analizindeki Durum: Bu, t = t0 anındaki bilgisi ile birlikte t ≥ t0 için giriş bilgisi verildiğinde, herhangi bir t ≥ t0 anında sistemin davranışını tam olarak belirleyen en küçük değişken kümesine atıfta bulunur.

2. Durum Uzay Analizindeki Durum Değişkenleri: Bu, dinamik sistemin durumunu belirlememize yardımcı olan en küçük değişken kümesine atıfta bulunur. Durum değişkenleri x1(t), x2(t)……..Xn(t) şeklinde tanımlanır.

3. Durum Vektörü: Eğer bir sistemin tam davranışını tanımlamak için n tane durum değişkeni gerekiyorsa, bu n tane durum değişkeni x(t) vektörünün n bileşeni olarak kabul edilir. Bu tür bir vektöre durum vektörü denir.

4. Durum Uzayı: Bu, x1 eksenini, x2 eksenini ………xn eksenini içeren n boyutlu uzayı ifade eder.

Durum Uzay Denklemleri

Doğrusal ve zamanla değişmeyen bir sistemin durum uzay denklemlerini türetelim.
Birden fazla giriş ve birden fazla çıkışlı bir sistemi düşünelim. Bu sistem r adet giriş ve m adet çıkışa sahip olsun.
Burada, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Ve m = y1, y2 ……….. ym.
Şimdi, verilen sistemi tanımlamak için n tane durum değişkeni kullanıyoruz, bu nedenle n = x1, x2, ……….. xn.
Ayrıca, giriş ve çıkış vektörlerini şu şekilde tanımlıyoruz,
Giriş vektörlerinin transpozu,

Burada, T matrisin transpozudur.

Çıkış vektörlerinin transpozu,

Burada, T matrisin transpozudur.
Durum vektörlerinin transpozu,

Burada, T matrisin transpozudur.
Bu değişkenler, aşağıdaki denklemlerle ilişkilendirilir ve durum uzay denklemleri olarak bilinir

Tansfer Fonksiyonu Kullanarak Durum Modelinin Gösterimi

Ayrıştırma: Bu, verilen transfer fonksiyonundan durum modelini elde etme sürecidir. Şimdi, transfer fonksiyonunu üç farklı yolla ayrıştırabiliriz:

1. Doğrudan ayrıştırma,

2. Kademeli veya seri ayrıştırma,

3. Paralel ayrıştırma.

Yukarıdaki tüm ayrıştırma yöntemlerinde, önce verilen transfer fonksiyonunu diferansiyel denklemlere dönüştürürüz. Bu, aynı zamanda dinamik denklemler olarak da adlandırılır. Diferansiyel denklemlere dönüştürdükten sonra, yukarıdaki denklemin ters Laplace dönüşümünü alırız. Ayrıştırma türüne bağlı olarak model oluşturabiliriz. Her türlü transfer fonksiyonunu durum modeli olarak ifade edebiliriz. Elektriksel model, mekanik model gibi çeşitli modellerimiz vardır.

A, B, C ve D cinsinden Transfer Matrisin İfadesi. Transfer matrisi, çıktının Laplace dönüşümüne girişin Laplace dönüşümünün oranı olarak tanımlanır.
Durum denklemlerini yeniden yazıp her iki durum denkleminin Laplace dönüşümünü alalım (başlangıç koşullarının sıfır olduğunu varsayarak).

Denklemi şöyle yazabiliriz

Burada, I birim matristir.
Şimdi X(s) değerini Y(s) denkleminde yerine koyarak ve D = 0 (yani boş matris) alarak şunu elde ederiz

Matrisin tersi, matrisin determinantına bölünmüş eşleniği ile değiştirilebilir. Şimdi ifadeyi yeniden yazarsak şunu elde ederiz

|sI-A|, sıfıra eşit olduğunda karakteristik denklem olarak da bilinir.

Özdeğer ve Özvektörler Kavramı

Yukarıda tanımladığımız karakteristik denklemin kökleri, A matrisinin özdeğerleri veya özdeğerleri olarak bilinir.
Şimdi, özdeğerlerle ilgili bazı özellikler var ve bu özellikler aşağıda yazılmıştır-

1. Herhangi bir kare matris A ve onun transpozu At aynı özdeğerlere sahiptir.

2. Herhangi bir matris A'nın özdeğerlerinin toplamı, matris A'nın izine eşittir.

3. Herhangi bir matris A'nın özdeğerlerinin çarpımı, matris A'nın determinantına eşittir.

4. Bir skaler miktarı matris A'ya çarptığımızda, özdeğerler de aynı skaler değeriyle çarpılır.

5. Verilen matris A'nın tersini aldığımızda, özdeğerler de ters alınır.

6. Eğer matrisin tüm elemanları gerçekse, bu matrise karşılık gelen özdeğerler ya gerçek sayıdır ya da karmaşık eşlenik çift halindedir.