Analisis Ruang Keadaan Sistem Kawalan

Sebelum saya memperkenalkan konsep analisis ruang keadaan sistem kawalan, sangat penting untuk membincangkan di sini perbezaan antara teori konvensional sistem kawalan dan teori moden sistem kawalan.

1. Teori kawalan konvensional sepenuhnya berdasarkan pendekatan domain frekuensi manakala teori sistem kawalan moden berdasarkan pendekatan domain masa.

2. Dalam teori konvensional sistem kawalan, kita hanya mempunyai sistem input tunggal output tunggal (SISO) yang linear dan tidak berubah dengan masa, tetapi dengan bantuan teori sistem kawalan moden, kita dapat dengan mudah menganalisis bahkan sistem input ganda output ganda (MIMO) yang tidak linear dan berubah dengan masa juga.

3. Dalam teori sistem kawalan moden, analisis kestabilan dan analisis respons masa boleh dilakukan dengan mudah secara grafik dan secara analitik.

Sekarang analisis ruang keadaan sistem kawalan berdasarkan teori moden yang berlaku untuk semua jenis sistem seperti sistem input tunggal output tunggal, sistem input ganda dan output ganda, sistem linear dan tidak linear, sistem berubah dengan masa dan tidak berubah dengan masa. Mari kita pertimbangkan beberapa istilah asas berkaitan dengan analisis ruang keadaan teori moden sistem kawalan.

1. Keadaan dalam Analisis Ruang Keadaan : Ia merujuk kepada set terkecil pemboleh ubah yang pengetahuan mereka pada t = t0 bersama dengan pengetahuan input untuk t ≥ t0 memberikan pengetahuan lengkap tentang tingkah laku sistem pada bila-bila masa t ≥ t0.

2. Pemboleh Ubah Keadaan dalam Analisis Ruang Keadaan : Ia merujuk kepada set terkecil pemboleh ubah yang membantu kita menentukan keadaan sistem dinamik. Pemboleh ubah keadaan ditakrifkan oleh x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vektor Keadaan : Jika diperlukan n pemboleh ubah keadaan untuk menerangkan tingkah laku lengkap sistem yang diberikan, maka n pemboleh ubah keadaan tersebut dianggap sebagai n komponen vektor x(t). Vektor sedemikian dikenali sebagai vektor keadaan.

4. Ruang Keadaan : Ia merujuk kepada ruang n dimensi yang mempunyai paksi x1, paksi x2 ……… paksi xn.

Persamaan Ruang Keadaan

Mari kita turunkan persamaan ruang keadaan untuk sistem yang linear dan tidak berubah dengan masa.
Mari kita pertimbangkan sistem input ganda dan output ganda yang mempunyai r input dan m output.
Di mana, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Dan m = y1, y2 ……….. ym.
Sekarang kita mengambil n pemboleh ubah keadaan untuk menerangkan sistem yang diberikan, jadi n = x1, x2, ……….. xn.
Kita juga menentukan vektor input dan output sebagai,
Transpos vektor input,

Di mana, T adalah transpos matriks.

Transpos vektor output,

Di mana, T adalah transpos matriks.
Transpos vektor keadaan,

Di mana, T adalah transpos matriks.
Pemboleh ubah ini saling berkaitan melalui satu set persamaan yang ditulis di bawah dan dikenali sebagai persamaan ruang keadaan

Perwakilan Model Keadaan menggunakan Fungsi Transfer

Penguraian : Ia ditakrifkan sebagai proses mendapatkan model keadaan dari fungsi transfer yang diberikan. Kini kita boleh mengurai fungsi transfer menggunakan tiga cara yang berbeza:

1. Penguraian langsung,

2. Penguraian rangkaian atau siri,

3. Penguraian selari.

Dalam semua kaedah penguraian di atas, kita pertama kali menukar fungsi transfer yang diberikan menjadi persamaan pembezaan yang juga dikenali sebagai persamaan dinamik. Selepas menukar menjadi persamaan pembezaan, kita akan mengambil transformasi Laplace songsang persamaan di atas, kemudian mengikut jenis penguraian, kita boleh mencipta model. Kita boleh mewakili sebarang jenis fungsi transfer dalam model keadaan. Kita mempunyai pelbagai jenis model seperti model elektrik, model mekanikal, dan lain-lain.

Ungkapan Matriks Transfer dalam A, B, C, dan D. Kita menentukan matriks transfer sebagai transformasi Laplace output terhadap transformasi Laplace input.
Dengan menulis semula persamaan keadaan dan mengambil transformasi Laplace kedua-dua persamaan keadaan (dengan mengandaikan syarat awal sama dengan sifar) kita mempunyai

Kita boleh menulis persamaan sebagai

Di mana, I adalah matriks identiti.
Sekarang dengan menggantikan nilai X(s) dalam persamaan Y(s) dan menetapkan D = 0 (yang bermaksud ia adalah matriks kosong) kita mempunyai

Invers matriks boleh digantikan oleh adj matriks dibahagikan dengan penentu matriks, sekarang dengan menulis semula ungkapan kita mempunyai

|sI-A| juga dikenali sebagai persamaan ciri apabila disamakan dengan sifar.

Konsep Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Akar persamaan ciri yang telah kita jelaskan di atas dikenali sebagai nilai eigen atau nilai eigen matriks A.
Sekarang terdapat beberapa sifat berkaitan dengan nilai eigen dan sifat-sifat ini ditulis di bawah-

1. Sebarang matriks persegi A dan transposnya At mempunyai nilai eigen yang sama.

2. Jumlah nilai eigen sebarang matriks A adalah sama dengan jejak matriks A.

3. Hasil darab nilai eigen sebarang matriks A adalah sama dengan penentu matriks A.

4. Jika kita mendarabkan kuantiti skalar dengan matriks A, maka nilai eigen juga didarabkan dengan nilai skalar yang sama.

5. Jika kita menentukan songsangan matriks A, maka nilai eigennya juga menjadi songsangan.

6. Sumbangan