ניתוח מרחב מצבים של מערכת בקרה

לפני שאציג לכם את המושג של אנליזת מרחב מצבים של מערכת בקרה, חשוב מאוד לדון כאן על ההבדלים בין התאוריה הקונבנציונלית של מערכת הבקרה לתאוריה המודרנית של מערכת הבקרה.

1. התאוריה הקונבנציונלית מבוססת לחלוטין על גישה תחום התדר בעוד שהתאוריה המודרנית מבוססת על גישה תחום הזמן.

2. בתאוריה הקונבנציונלית של מערכת הבקרה יש לנו רק מערכות ליניאריות ובלתי משתנות בזמן עם כניסה אחת ויציאה אחת (SISO) אבל בעזרת תאוריה מודרנית של מערכת הבקרה ניתן לבצע בקלות גם ניתוח של מערכות לא ליניאריות ומשתנות בזמן עם מספר כניסות ויציאות (MIMO).

3. בתאוריה המודרנית של מערכת הבקרה ניתוח יציבות וניתוח תגובה לפי זמן יכולים להתבצע בקלות בשיטות גרפיות ואנליטיות.

עכשיו אנליזת מרחב מצבים של מערכת הבקרה מבוססת על התאוריה המודרנית שמתאימה לכל סוגי המערכות כמו מערכות כניסה אחת ויציאה אחת, מערכות כניסות ויציאות מרובות, מערכות ליניאריות ולא ליניאריות, מערכות משתנות בזמן ובלתי משתנות בזמן. נשקול כמה מונחים בסיסיים קשורים לאנליזת מרחב המצבים של התאוריה המודרנית של מערכות הבקרה.

1. מצב באנליזת מרחב מצבים : זה מתאר את הקבוצה הקטנה ביותר של משתנים שידעם ב-t = t0 יחד עם ידע על הכניסה עבור t ≥ t0 נותן ידע מלא על התנהגות המערכת בכל זמן t ≥ t0.

2. משתני מצב באנליזת מרחב מצבים : זה מתאר את הקבוצה הקטנה ביותר של משתנים שמסייעים לנו לקבוע את מצב המערכת הדינמית. משתני מצב מוגדרים על ידי x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. וקטור מצב : אם יש צורך ב-n משתני מצב כדי לתאר את התנהגות המערכת המלאה, אז n משתני המצב הללו נחשבים ל-n רכיבים של וקטור x(t). וקטור כזה מכונה וקטור מצב.

4. מרחב מצב : זה מתאר מרחב n מימדי שיש לו ציר x1, ציר x2 ………צירים xn.

משוואות מרחב מצבים

ננגזר משוואות מרחב מצבים למערכת שהיא ליניארית ולא משתנה בזמן.
נניח מערכת עם כניסות ויציאות מרובות שיש לה r כניסות ו-m יציאות.
כאשר, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
ו-m = y1, y2 ……….. ym.
עכשיו אנחנו ניקח n משתני מצב לתיאור המערכת הנתונה ולכן n = x1, x2, ……….. xn.
אנחנו גם מגדירים וקטורי כניסה ויציאה כ,
טרנספוזיציה של וקטורי כניסה,

כאשר, T הוא טרנספוזיציה של המטריצה.

טרנספוזיציה של וקטורי יציאה,

כאשר, T הוא טרנספוזיציה של המטריצה.
טרנספוזיציה של וקטורי מצב,

כאשר, T הוא טרנספוזיציה של המטריצה.
משתנים אלו קשורים על ידי קבוצת משוואות שנכתבות להלן ומכונות משוואות מרחב מצבים

הצגת מודל מצב באמצעות פונקציית העברה

פירוק : זה מוגדר כהליך של קבלת מודל המצב מהפונקציה ההעברה הנתונה. עכשיו אפשר לפצל את הפונקציה ההעברה בשלוש דרכים שונות:

1. פירוק ישיר,

2. פירוק סידורי או מקביל,

3. פירוק מקביל.

בכל שיטות הפירוק הנ"ל אנחנו קודם ממירים את הפונקציה ההעברה הנתונה למשוואות דיפרנציאליות שנקראות גם משוואות דינמיות. אחרי המרה למשוואות דיפרנציאליות אנחנו ניקח את הטרנספורמציה ההופכית של לפלס של המשוואה ואז בהתאם לסוג הפירוק אנחנו יכולים ליצור מודל. אנחנו יכולים לייצג כל סוג של פונקציה העברה במודל מצב. יש לנו סוגים שונים של מודלים כמו מודלים חשמליים, מודלים מכניים ועוד.

ביטוי של מטריצת ההעברה במונחים של A, B, C ו-D. אנחנו מגדירים מטריצת ההעברה כטרנספורמציה של לפלס של היציאה לטרנספורמציה של לפלס של הכניסה.
כשנכתוב שוב את משוואות המצב וניקח את טרנספורמציית לפלס של שתי משוואות המצב (בהנחה שהנחות הראשונות שוות לאפס) נקבל

אנחנו יכולים לכתוב את המשוואה כ

כאשר, I היא מטריצת יחידה.
עכשיו כשנחליף את ערך X(s) במשוואה Y(s) ונקבע D = 0 (כלומר מטריצה ריקה) נקבל

ההפוכה של מטריצה יכולה להיות מוחלפת על ידי האדז' של המטריצה מחולקת בדטרמיננטה של המטריצה, עכשיו כשנכתוב מחדש את הביטוי נקבל

|sI-A| הוא גם ידוע כמשוואה מאפיינת כאשר היא שווה לאפס.

מושג ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

שורשים של המשוואה המאפיינת שמתוארת למעלה הם ידועים כערכים עצמיים או ערכים עצמיים של מטריצה A.
עכשיו ישנן כמה תכונות הקשורות לערכים עצמיים והן כתובות להלן-

1. לכל מטריצה ריבועית A וטרנספוזיציה שלה At יש אותם ערכים עצמיים.

2. סכום הערכים העצמיים של כל מטריצה A שווה לעקב של המטריצה A.

3. מכפלת הערכים העצמיים של כל מטריצה A שווה לדטרמיננטה של המטריצה A.

4. אם נכפיל מטריצה A במספר סקלרי אז הערכים העצמיים גם נכפילים באותו ערך סקלרי.

5. אם נהפוך את המטריצה A הנתונה אז הערכים העצמיים גם נהפכו.

6. אם כל האלמנטים של המטריצה הם ממשיים אז הערכים הע