การวิเคราะห์ปริภูมิสถานะของระบบควบคุม

ก่อนที่ผมจะแนะนำเกี่ยวกับแนวคิดของการวิเคราะห์พื้นที่สถานะของระบบควบคุม มันเป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องหารือถึงความแตกต่างระหว่างทฤษฎีแบบดั้งเดิมของระบบควบคุมและทฤษฎีสมัยใหม่ของระบบควบคุม

1. ทฤษฎีควบคุมแบบดั้งเดิมอาศัยการเข้าถึงในโดเมนความถี่อย่างเต็มที่ ในขณะที่ทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่อาศัยการเข้าถึงในโดเมนเวลา

2. ในทฤษฎีควบคุมแบบดั้งเดิมเราได้รับระบบอินพุตเดียวและเอาต์พุตเดียว (SISO) ที่เป็นเชิงเส้นและไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น แต่ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่ เราสามารถวิเคราะห์ระบบหลายอินพุตและหลายเอาต์พุต (MIMO) รวมถึงระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นและเปลี่ยนแปลงตามเวลาได้ง่ายๆ

3. ในทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่ การวิเคราะห์ความมั่นคงและการตอบสนองตามเวลาสามารถทำได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีกราฟิกและวิธีวิเคราะห์

ตอนนี้การวิเคราะห์พื้นที่สถานะของระบบควบคุมขึ้นอยู่กับทฤษฎีสมัยใหม่ซึ่งสามารถนำไปใช้กับทุกประเภทของระบบ เช่น ระบบอินพุตเดียวและเอาต์พุตเดียว ระบบหลายอินพุตและหลายเอาต์พุต ระบบเชิงเส้นและไม่เป็นเชิงเส้น ระบบเปลี่ยนแปลงตามเวลาและไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ขอให้เราพิจารณาคำศัพท์พื้นฐานบางประการที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์พื้นที่สถานะของทฤษฎีสมัยใหม่ของระบบควบคุม

1. สถานะในการวิเคราะห์พื้นที่สถานะ : หมายถึงชุดตัวแปรที่เล็กที่สุดที่ความรู้ที่ t = t0 ร่วมกับความรู้ของอินพุตสำหรับ t ≥ t0 ให้ความรู้ครบถ้วนเกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบที่เวลาใดๆ t ≥ t0.

2. ตัวแปรสถานะในการวิเคราะห์พื้นที่สถานะ : หมายถึงชุดตัวแปรที่เล็กที่สุดที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดสถานะของระบบพลวัต ตัวแปรสถานะถูกกำหนดโดย x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. เวกเตอร์สถานะ : หากมีความต้องการของตัวแปรสถานะ n เพื่ออธิบายพฤติกรรมทั้งหมดของระบบที่กำหนด ตัวแปรสถานะ n นี้จะถูกพิจารณาว่าเป็นส่วนประกอบ n ของเวกเตอร์ x(t) เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่าวีกเตอร์สถานะ

4. พื้นที่สถานะ : หมายถึงพื้นที่ n มิติที่มีแกน x1, x2 ………xn

สมการพื้นที่สถานะ

ขอให้เราสร้างสมการพื้นที่สถานะสำหรับระบบที่เป็นเชิงเส้นและไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
ขอให้เราพิจารณาระบบหลายอินพุตและหลายเอาต์พุตที่มีอินพุตรจำนวน r และเอาต์พุต m รายการ
เมื่อ r = u1, u2, u3 ……….. ur.
และ m = y1, y2 ……….. ym.
ตอนนี้เรากำลังใช้ตัวแปรสถานะ n รายการเพื่ออธิบายระบบที่กำหนด ดังนั้น n = x1, x2, ……….. xn.
นอกจากนี้เรายังกำหนดเวกเตอร์อินพุตและเอาต์พุตดังนี้
ทรานสโพสของเวกเตอร์อินพุต,

เมื่อ T คือทรานสโพสของเมทริกซ์

ทรานสโพสของเวกเตอร์เอาต์พุต,

เมื่อ T คือทรานสโพสของเมทริกซ์
ทรานสโพสของเวกเตอร์สถานะ,

เมื่อ T คือทรานสโพสของเมทริกซ์
ตัวแปรเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันผ่านชุดสมการที่เขียนไว้ด้านล่างและเรียกว่าสมการพื้นที่สถานะ

การนำเสนอโมเดลสถานะโดยใช้ฟังก์ชันการถ่ายโอน

การแยกส่วน : หมายถึงกระบวนการที่ได้รับโมเดลสถานะจากฟังก์ชันการถ่ายโอนที่กำหนด ตอนนี้เราสามารถแยกส่วนฟังก์ชันการถ่ายโอนโดยใช้วิธีสามวิธีต่อไปนี้:

1. การแยกส่วนตรง,

2. การแยกส่วนแบบเรียงลำดับหรือแบบอนุกรม,

3. การแยกส่วนแบบขนาน.

ในวิธีการแยกส่วนทั้งหมดข้างต้น เราจะแปลงฟังก์ชันการถ่ายโอนที่กำหนดให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งเรียกว่าสมการพลวัต หลังจากแปลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์แล้วเราจะทำการแปลงลาปลาซกลับของสมการดังกล่าว แล้วสร้างโมเดลตามประเภทของการแยกส่วน เราสามารถนำเสนอฟังก์ชันการถ่ายโอนใดๆ ในโมเดลสถานะ เรามีโมเดลประเภทต่างๆ เช่น โมเดลไฟฟ้า โมเดลกลไก เป็นต้น

การแสดงเมทริกซ์การถ่ายโอนในรูปของ A, B, C และ D เราได้กำหนดเมทริกซ์การถ่ายโอนว่าเป็นการแปลงลาปลาซของเอาต์พุตต่อการแปลงลาปลาซของอินพุต
เมื่อเขียนสมการสถานะอีกครั้งและทำการแปลงลาปลาซของทั้งสองสมการสถานะ (โดยสมมติว่าเงื่อนไขเริ่มต้นเท่ากับศูนย์) เราจะได้

เราสามารถเขียนสมการได้ว่า

เมื่อ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
ตอนนี้แทนค่า X(s) ในสมการ Y(s) และกำหนด D = 0 (หมายความว่าเป็นเมทริกซ์ว่าง) เราจะได้

เมทริกซ์ผกผันสามารถแทนที่ด้วย adj ของเมทริกซ์หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ตอนนี้เมื่อเขียนสมการใหม่เราจะได้

|sI-A| ยังเรียกว่าสมการเฉพาะเมื่อเท่ากับศูนย์

แนวคิดเกี่ยวกับค่าและเวกเตอร์เฉพาะ

รากของสมการเฉพาะที่เราได้อธิบายไว้ข้างต้นเรียกว่าค่าเฉพาะหรือค่าเฉพาะของเมทริกซ์ A