Аналіз простору станів системи керування

Перед тим як розповісти вам про концепцію аналізу простору станів системи керування, дуже важливо обговорити тут відмінності між традиційною теорією системи керування і сучасною теорією системи керування.

1. Традиційна теорія керування повністю базується на підході у частотній області, тоді як сучасна теорія системи керування базується на підході у часовій області.

2. У традиційній теорії системи керування ми маємо лише лінійні та незмінні у часі системи з одним входом та одним виходом (SISO), але за допомогою теорії сучасної системи керування ми можемо легко провести аналіз навіть не лінійних та змінних у часі систем з багатьма входами та виходами (MIMO).

3. У сучасній теорії системи керування аналіз стабільності та аналіз часових характеристик можна легко провести як графічним, так і аналітичним методом.

Тепер аналіз простору станів системи керування базується на сучасній теорії, яка застосовна до всіх типів систем, таких як системи з одним входом та одним виходом, системи з багатьма входами та виходами, лінійні та не лінійні системи, системи, що змінюються та не змінюються у часі. Розглянемо деякі основні терміни, пов'язані з аналізом простору станів сучасної теорії систем керування.

1. Стан у аналізі простору станів : Це найменший набір змінних, знання яких при t = t0 разом зі знанням входу для t ≥ t0 дає повну інформацію про поведінку системи в будь-який час t ≥ t0.

2. Змінні стану в аналізі простору станів : Це найменший набір змінних, які допомагають нам визначити стан динамічної системи. Змінні стану визначаються x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Вектор стану : Якщо потрібно n змінних стану, щоб описати повну поведінку даної системи, то ці n змінних стану вважаються n компонентами вектора x(t). Такий вектор називається вектором стану.

4. Простір станів : Це n-вимірний простір, який має осі x1, x2 ………xn.

Рівняння простору станів

Давайте отримаємо рівняння простору станів для системи, яка є лінійною та незмінною у часі.
Розглянемо систему з багатьма входами та виходами, яка має r входів та m виходів.
де, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
А m = y1, y2 ……….. ym.
Тепер ми беремо n змінних стану, щоб описати дану систему, тому n = x1, x2, ……….. xn.
Також ми визначаємо вектори входу та виходу, як,
Транспонований вектор входу,

де T — транспонована матриця.

Транспонований вектор виходу,

де T — транспонована матриця.
Транспонований вектор стану,

де T — транспонована матриця.
Ці змінні пов'язані набором рівнянь, які приведені нижче і відомі як рівняння простору станів

Представлення моделі стану за допомогою передавальної функції

Декомпозиція : Це визначається як процес отримання моделі стану з даної передавальної функції. Тепер ми можемо декомпонувати передавальну функцію трьома різними способами:

1. Прямая декомпозиция,

2. Каскадна або серійна декомпозиція,

3. Паралельна декомпозиція.

У всіх вищевказаних методах декомпозиції ми спочатку перетворюємо дану передавальну функцію на диференціальні рівняння, які також називаються динамічними рівняннями. Після перетворення на диференціальні рівняння ми беремо обернену перетворення Лапласа вищезазначеного рівняння, а потім, відповідно до типу декомпозиції, ми можемо створити модель. Ми можемо представити будь-яку передавальну функцію в моделі стану. У нас є різні типи моделей, таких як електрична модель, механічна модель тощо.

Вираження передавальної матриці через A, B, C та D. Ми визначаємо передавальну матрицю як перетворення Лапласа виходу до перетворення Лапласа входу.
Повторно записуючи рівняння стану та беручи перетворення Лапласа обох рівнянь стану (припустивши, що початкові умови дорівнюють нулю), ми маємо

Ми можемо записати рівняння як

де I — одинична матриця.
Тепер, підставляючи значення X(s) у рівняння Y(s) та поклавши D = 0 (тобто це нульова матриця), ми маємо

Обернена матриця може бути замінена приєднаною матрицею, поділеною на детермінант матриці, тепер, переписуючи вираз, ми маємо

|sI-A| також відоме як характеристичне рівняння, коли його прирівнюють до нуля.

Концепція власних значень та власних векторів