Analisi nello spazio di stato del sistema di controllo

Prima di introdurre il concetto di analisi dello spazio di stato del sistema di controllo, è molto importante discutere qui le differenze tra la teoria convenzionale del sistema di controllo e la teoria moderna del sistema di controllo.

1. La teoria convenzionale del controllo si basa completamente sull'approccio nel dominio della frequenza, mentre la teoria moderna del sistema di controllo si basa sull'approccio nel dominio del tempo.

2. Nella teoria convenzionale del sistema di controllo abbiamo solo sistemi lineari e invarianti nel tempo con un singolo ingresso e una singola uscita (SISO), ma con l'aiuto della teoria del sistema di controllo moderno possiamo facilmente analizzare anche sistemi non lineari e varianti nel tempo con più ingressi e più uscite (MIMO).

3. Nella teoria moderna del sistema di controllo, l'analisi di stabilità e l'analisi della risposta temporale possono essere eseguite sia graficamente che analiticamente in modo molto semplice.

Ora l'analisi dello spazio di stato del sistema di controllo si basa sulla teoria moderna, applicabile a tutti i tipi di sistemi come sistemi con un singolo ingresso e una singola uscita, sistemi con più ingressi e più uscite, sistemi lineari e non lineari, sistemi varianti e invarianti nel tempo. Consideriamo alcuni termini di base relativi all'analisi dello spazio di stato della teoria moderna dei sistemi di controllo.

1. Stato nell'analisi dello spazio di stato: Si riferisce al più piccolo insieme di variabili la cui conoscenza a t = t0 insieme alla conoscenza dell'ingresso per t ≥ t0 fornisce la conoscenza completa del comportamento del sistema in qualsiasi momento t ≥ t0.

2. Variabili di stato nell'analisi dello spazio di stato: Si riferisce al più piccolo insieme di variabili che ci aiutano a determinare lo stato del sistema dinamico. Le variabili di stato sono definite da x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vettore di stato: Supponiamo che siano necessarie n variabili di stato per descrivere il comportamento completo del sistema dato, allora queste n variabili di stato vengono considerate come n componenti di un vettore x(t). Un tale vettore è noto come vettore di stato.

4. Spazio di stato: Si riferisce allo spazio n-dimensionale che ha l'asse x1, l'asse x2 ……… l'asse xn.

Equazioni dello Spazio di Stato

Deriviamo le equazioni dello spazio di stato per un sistema lineare e invariante nel tempo.
Consideriamo un sistema con più ingressi e più uscite che ha r ingressi e m uscite.
Dove, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
E m = y1, y2 ……….. ym.
Ora stiamo prendendo n variabili di stato per descrivere il sistema dato, quindi n = x1, x2, ……….. xn.
Inoltre definiamo i vettori di ingresso e uscita come,
Trasposizione dei vettori di ingresso,

Dove, T è la trasposizione della matrice.

Trasposizione dei vettori di uscita,

Dove, T è la trasposizione della matrice.
Trasposizione dei vettori di stato,

Dove, T è la trasposizione della matrice.
Queste variabili sono correlate da un insieme di equazioni scritte di seguito e note come equazioni dello spazio di stato

Rappresentazione del Modello di Stato utilizzando la Funzione di Trasferimento

Decomposizione: È definita come il processo di ottenere il modello di stato dalla funzione di trasferimento data. Ora possiamo decomporre la funzione di trasferimento utilizzando tre metodi diversi:

1. Decomposizione diretta,

2. Decomposizione in cascata o in serie,

3. Decomposizione parallela.

In tutti i metodi di decomposizione sopra menzionati, prima convertiamo la funzione di trasferimento data nelle equazioni differenziali, che sono anche chiamate equazioni dinamiche. Dopo averle convertite in equazioni differenziali, prenderemo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione sopra, quindi, in base al tipo di decomposizione, possiamo creare il modello. Possiamo rappresentare qualsiasi tipo di funzione di trasferimento nel modello di stato. Abbiamo vari tipi di modelli come modelli elettrici, meccanici, ecc.

Espressione della Matrice di Trasferimento in termini di A, B, C e D. Definiamo la matrice di trasferimento come la trasformata di Laplace dell'uscita rispetto alla trasformata di Laplace dell'ingresso.
Riscrivendo le equazioni di stato e prendendo la trasformata di Laplace di entrambe le equazioni di stato (supponendo condizioni iniziali uguali a zero) abbiamo

Possiamo scrivere l'equazione come

Dove, I è una matrice identità.
Ora sostituendo il valore di X(s) nell'equazione Y(s) e ponendo D = 0 (significa che è una matrice nulla) abbiamo

L'inversa della matrice può essere sostituita dal complemento della matrice diviso per il determinante della matrice, ora riscrivendo l'espressione abbiamo

|sI-A| è anche nota come equazione caratteristica quando posta uguale a zero.

Concetto di Autovalori e Autovettori

Le radici dell'equazione caratteristica descritta sopra sono note come autovalori o autovalori della matrice A.
Ora ci sono alcune proprietà relative agli autovalori e queste proprietà sono elencate di seguito-

1. Ogni matrice quadrata A e la sua trasposta At hanno gli stessi autovalori.

2. La somma degli autovalori di qualsiasi matrice A è uguale alla traccia della matrice A.

3. Il prodotto degli autovalori di qualsiasi matrice A è uguale al determinante della matrice A.

4. Se moltiplichiamo una quantità scalare per la matrice A, allora gli autovalori vengono moltiplicati per lo stesso valore scalare.

5. Se invertiamo la matrice A data, allora i suoi autovalori vengono anche invertiti.

6. Se tutti gli elementi della matrice sono reali, allora gli autoval