Anàlisi de l'espai d'estats del sistema de control

Abans de presentar-vos el concepte d'anàlisi de l'estat d'espai del sistema de control, és molt important discutir aquí les diferències entre la teoria convencional del sistema de control i la teoria moderna del sistema de control.

1. La teoria convencional de control es basa completament en l'aproximació al domini de la freqüència, mentre que la teoria moderna del sistema de control es basa en l'aproximació al domini temporal.

2. En la teoria convencional del sistema de control només tenim sistemes lineals i invariants en el temps d'entrada única i sortida única (SISO), però amb l'ajuda de la teoria moderna del sistema de control podem analitzar fàcilment també sistemes no lineals i variants en el temps amb múltiples entrades i múltiples sortides (MIMO).

3. En la teoria moderna del sistema de control, l'anàlisi de la stabilitat i la resposta temporal es pot fer fàcilment tant gràficament com analíticament.

Ara, l'anàlisi de l'estat d'espai del sistema de control es basa en la teoria moderna, que és aplicable a tots els tipus de sistemes, com sistemes d'entrada única i sortida única, sistemes d'entrades múltiples i sortides múltiples, sistemes lineals i no lineals, sistemes variants i invariants en el temps. Considerem alguns termes bàsics relacionats amb l'anàlisi de l'estat d'espai de la teoria moderna dels sistemes de control.

1. Estat en l'Anàlisi de l'Estat d'Espai : Es refereix al conjunt més petit de variables, el coneixement del qual a t = t0 juntament amb el coneixement de l'entrada per t ≥ t0 donen el coneixement complet del comportament del sistema a qualsevol moment t ≥ t0.

2. Variables d'estat en l'Anàlisi de l'Estat d'Espai : Es refereix al conjunt més petit de variables que ens ajuden a determinar l'estat del sistema dinàmic. Les variables d'estat es defineixen com x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vector d'estat : Suposem que són necessàries n variables d'estat per descriure el comportament complet del sistema donat, llavors aquestes n variables d'estat es consideren com els n components d'un vector x(t). Aquest vector es coneix com a vector d'estat.

4. Espai d'estat : Es refereix a l'espai n-dimensional que té l'eix x1, l'eix x2 ……… l'eix xn.

Equacions de l'Espai d'Estat

Derivem les equacions de l'espai d'estat per al sistema que és lineal i invariant en el temps.
Considerem un sistema d'entrades múltiples i sortides múltiples que té r entrades i m sortides.
On, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
I m = y1, y2 ……….. ym.
Ara estem prenent n variables d'estat per descriure el sistema donat, per tant n = x1, x2, ……….. xn.
També definim vectors d'entrada i sortida com,
Transposició dels vectors d'entrada,

On, T és la transposada de la matriu.

Transposició dels vectors de sortida,

On, T és la transposada de la matriu.
Transposició dels vectors d'estat,

On, T és la transposada de la matriu.
Aquestes variables estan relacionades per un conjunt d'equacions que s'escriuen a continuació i que s'anomenen equacions de l'espai d'estat

Representació del Model d'Estat Utilitzant la Funció de Transferència

Descomposició : Es defineix com el procés d'obtenir el model d'estat a partir de la funció de transferència donada. Ara podem descompondre la funció de transferència utilitzant tres formes diferents:

1. Descomposició directa,

2. Descomposició en cascada o en sèrie,

3. Descomposició paral·lela.

En totes les mètodes de descomposició anteriors, primer convertim la funció de transferència donada en equacions diferencials, que també es diuen equacions dinàmiques. Després de convertir en equacions diferencials, prenem la transformada de Laplace inversa de l'equació anterior i, segons el tipus de descomposició, podem crear el model. Podem representar qualsevol tipus de funció de transferència en el model d'estat. Tenim diversos tipus de models com el model elèctric, el model mecànic, etc.

Expressió de la Matriu de Transferència en Termes de A, B, C i D. Definim la matriu de transferència com la transformada de Laplace de la sortida a la transformada de Laplace de l'entrada.
Escrivint de nou les equacions d'estat i prenent la transformada de Laplace de les dues equacions d'estat (assumint condicions inicials iguals a zero) tenim

Podem escriure l'equació com

On, I és una matriu identitat.
Ara substituint el valor de X(s) en l'equació Y(s) i posant D = 0 (és a dir, una matriu nul·la) tenim

L'invers de la matriu es pot substituir pel adj de la matriu dividit pel determinant de la matriu, ara reescribint l'expressió tenim de

|sI-A| també es coneix com a equació característica quan s'equilibra a zero.

Concepte de Valors Propis i Vectors Propis

Les arrels de l'equació característica que hem descrit anteriorment es coneixen com a valors propis o valors propis de la matriu A.
Ara hi ha algunes propietats relacionades amb els valors propis i aquestes propietats s'escriuen a continuació-

1. Qualsevol matriu quadrada A i la seva transposada At tenen els mateixos valors propis.

2. La suma dels valors propis de qualsevol matriu A és igual a la traça de la matriu A.

3. El producte dels valors propis de qualsevol matriu A és igual al determinant de la m