Phân tích không gian trạng thái của hệ thống điều khiển

Trước khi giới thiệu về khái niệm phân tích không gian trạng thái của hệ thống điều khiển, rất quan trọng để thảo luận về sự khác biệt giữa lý thuyết truyền thống và hiện đại của hệ thống điều khiển.

1. Lý thuyết điều khiển truyền thống hoàn toàn dựa trên phương pháp miền tần số trong khi lý thuyết điều khiển hiện đại dựa trên phương pháp miền thời gian.

2. Trong lý thuyết điều khiển truyền thống, chúng ta chỉ có các hệ thống một đầu vào một đầu ra (SISO) tuyến tính và bất biến theo thời gian, nhưng với sự giúp đỡ của lý thuyết điều khiển hiện đại, chúng ta có thể dễ dàng phân tích cả các hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu ra (MIMO) không tuyến tính và biến đổi theo thời gian.

3. Trong lý thuyết điều khiển hiện đại, phân tích ổn định và phản ứng theo thời gian có thể được thực hiện bằng cả phương pháp đồ họa và phân tích rất dễ dàng.

Bây giờ phân tích không gian trạng thái của hệ thống điều khiển dựa trên lý thuyết hiện đại, áp dụng cho tất cả các loại hệ thống như hệ thống một đầu vào một đầu ra, hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu ra, hệ thống tuyến tính và không tuyến tính, hệ thống thay đổi theo thời gian và không thay đổi theo thời gian. Hãy xem xét một số thuật ngữ cơ bản liên quan đến phân tích không gian trạng thái của lý thuyết điều khiển hiện đại.

1. Trạng thái trong Phân tích Không gian Trạng thái: Nó đề cập đến tập hợp nhỏ nhất của các biến mà kiến thức tại t = t0 cùng với kiến thức về đầu vào cho t ≥ t0 cung cấp kiến thức đầy đủ về hành vi của hệ thống ở bất kỳ thời điểm t ≥ t0.

2. Biến trạng thái trong Phân tích Không gian Trạng thái: Nó đề cập đến tập hợp nhỏ nhất của các biến giúp chúng ta xác định trạng thái của hệ thống động. Các biến trạng thái được định nghĩa bởi x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vector trạng thái: Nếu có yêu cầu n biến trạng thái để mô tả hành vi đầy đủ của hệ thống đã cho, thì n biến trạng thái này được coi là n thành phần của vector x(t). Vector như vậy được gọi là vector trạng thái.

4. Không gian trạng thái: Nó đề cập đến không gian n chiều có trục x1, trục x2 ………trục xn.

Phương trình Không gian Trạng thái

Hãy dẫn xuất phương trình không gian trạng thái cho hệ thống tuyến tính và bất biến theo thời gian.
Hãy xem xét hệ thống nhiều đầu vào và nhiều đầu ra có r đầu vào và m đầu ra.
Trong đó, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Và m = y1, y2 ……….. ym.
Bây giờ chúng ta đang lấy n biến trạng thái để mô tả hệ thống đã cho nên n = x1, x2, ……….. xn.
Chúng ta cũng định nghĩa các vector đầu vào và đầu ra như sau,
Transpose của vector đầu vào,

Trong đó, T là ma trận chuyển vị.

Transpose của vector đầu ra,

Trong đó, T là ma trận chuyển vị.
Transpose của vector trạng thái,

Trong đó, T là ma trận chuyển vị.
Các biến này được liên kết bởi một tập hợp các phương trình được viết dưới đây và được gọi là phương trình không gian trạng thái

Diễn đạt Mô hình Trạng thái sử dụng Hàm Chuyển Đổi

Phân rã: Nó được định nghĩa là quá trình thu được mô hình trạng thái từ hàm chuyển đổi đã cho. Bây giờ chúng ta có thể phân rã hàm chuyển đổi bằng ba cách khác nhau:

1. Phân rã trực tiếp,

2. Phân rã chuỗi hoặc phân rã song song,

3. Phân rã song song.

Trong tất cả các phương pháp phân rã trên, chúng ta trước tiên chuyển hàm chuyển đổi đã cho thành các phương trình vi phân, còn được gọi là phương trình động. Sau khi chuyển thành các phương trình vi phân, chúng ta sẽ lấy biến đổi Laplace ngược của phương trình trên, sau đó tùy thuộc vào kiểu phân rã, chúng ta có thể tạo mô hình. Chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ hàm chuyển đổi nào trong mô hình trạng thái. Chúng ta có nhiều loại mô hình như mô hình điện, mô hình cơ khí, v.v.

Biểu diễn Ma trận Chuyển đổi theo A, B, C và D. Chúng ta định nghĩa ma trận chuyển đổi là biến đổi Laplace của đầu ra so với biến đổi Laplace của đầu vào.
Khi viết lại các phương trình trạng thái và lấy biến đổi Laplace của cả hai phương trình trạng thái (giả sử điều kiện ban đầu bằng không) chúng ta có

Chúng ta có thể viết phương trình như

Trong đó, I là ma trận đơn vị.
Bây giờ thay giá trị của X(s) vào phương trình Y(s) và đặt D = 0 (có nghĩa là ma trận rỗng) chúng ta có

Ngược của ma trận có thể thay thế bằng adj của ma trận chia cho định thức của ma trận, bây giờ khi viết lại biểu thức chúng ta có

|sI-A| cũng được gọi là phương trình đặc trưng khi đặt bằng không.

Khái niệm về Giá trị Đặc trưng và Vectơ Đặc trưng

Các nghiệm của phương trình đặc trưng mà chúng ta đã mô tả ở trên được gọi là giá trị đặc trưng hoặc vectơ đặc trưng của ma trận A.
Bây giờ có một số tính chất liên quan đến giá trị đặc trưng và các tính chất này được viết dưới đây-

1. Bất kỳ ma trận vuông A nào và ma trận chuyển vị At đều có cùng giá trị đặc trưng.

2. Tổng các giá trị đặc trưng của bất kỳ ma trận A nào bằng vết của ma trận A.

3. Tích các giá trị đặc trưng của bất kỳ ma trận A nào bằng định thức của ma trận A.

4. Nếu chúng ta nhân một lượng vô hướng với ma trận A thì các giá trị đặc trưng cũng được nhân với cùng giá trị vô hướng.

5. Nếu chúng ta nghịch đảo ma trận A đã cho thì các giá trị đặc trưng cũng được nghịch đảo.

6. Nếu tất cả các phần tử của ma trận đều là số thực thì các giá trị đặc trưng tương ứng với ma trận đó là số thực hoặc tồn tại theo cặp phức liên hợp.

Bây giờ tồn tại một vectơ đặc trưng tương ứng với một giá trị đặc trưng, nếu nó thỏa mãn điều kiện (ek × I – A)Pk = 0. Trong đó, k = 1, 2, 3, ……..n.

Ủng hộ​