Toestandsruimte-analise van stelselbeheer

Voordat ek jou bekendstel met die konsep van toestandruimte-analise van stelsels, is dit baie belangrik om hier die verskille tussen die konvensionele teorie van stuurstelsels en die moderne teorie van stuurstelsels te bespreek.

1. Die konvensionele stuurteorie is volledig gebaseer op die frekwensiedomeinbenadering terwyl die moderne stuurteorie gebaseer is op die tyddomeinbenadering.

2. In die konvensionele teorie van stuurstelsels het ons slegs lineêre en tyd-onveranderlike enkel-ingang-enkel-uitgang (SISO) stelsels, maar met behulp van die moderne stuurteorie kan ons maklik selfs nie-lineêre en tyd-veranderlike meervoudige ingange-meervoudige uitgange (MIMO) stelsels analiseer.

3. In die moderne teorie van stuurstelsels kan stabiliteitsanalise en tydresponaanalise maklik sowel grafies as analities gedoen word.

Nou is toestandruimte-analise van stuurstelsels gebaseer op die moderne teorie wat op alle tipes stelsels van toepassing is, soos enkel-ingang-enkel-uitgang stelsels, meervoudige ingange en meervoudige uitgange stelsels, lineêre en nie-lineêre stelsels, tydveranderlike en tyd-onveranderlike stelsels. Laat ons 'n paar basiese terme verbandhoudend met die toestandruimte-analise van die moderne teorie van stuurstelsels oorweeg.

1. Toestand in Toestandruimte-analise : Dit verwys na die kleinste versameling veranderlikes waarvan die kennis by t = t0 samen met die kennis van die ingang vir t ≥ t0 volledige kennis gee van die gedrag van die stelsel by enige tydstip t ≥ t0.

2. Toestandsveranderlikes in Toestandruimte-analise : Dit verwys na die kleinste versameling veranderlikes wat ons help om die toestand van die dinamiese stelsel te bepaal. Toestandsveranderlikes word gedefinieer deur x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Toestandvektor : As daar 'n vereiste is van n toestandsveranderlikes om die volledige gedrag van die gegewe stelsel te beskryf, dan word hierdie n toestandsveranderlikes beskou as n komponente van 'n vektor x(t). So 'n vektor staan bekend as 'n toestandvektor.

4. Toestandruimte : Dit verwys na die n-dimensionele ruimte wat x1 as, x2 as ………xn as het.

Toestandruimte-vergelykings

Laat ons toestandruimte-vergelykings aflei vir 'n stelsel wat lineêr en tyd-onveranderlik is.
Laat ons 'n stelsel met meervoudige ingange en meervoudige uitgange oorweeg wat r ingange en m uitgange het.
Waar, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
En m = y1, y2 ……….. ym.
Nou neem ons n toestandsveranderlikes om die gegewe stelsel te beskryf, dus n = x1, x2, ……….. xn.
Ook definieër ons ingang- en uitgangvektore as,
Transposisie van ingangvektore,

Waar, T die transposisie van die matriks is.

Transposisie van uitgangvektore,

Waar, T die transposisie van die matriks is.
Transposisie van toestandvektore,

Waar, T die transposisie van die matriks is.
Hierdie veranderlikes word verbind deur 'n versameling vergelykings wat hieronder geskryf is en bekend staan as toestandruimte-vergelykings

Voorstelling van Toestandmodel deur gebruikmaking van Oorgangsfunksie

Ontbinding : Dit word gedefinieer as die proses om die toestandmodel vanaf die gegewe oorgangsfunksie te verkry. Nou kan ons die oorgangsfunksie ontbind deur drie verskillende maniere:

1. Direkte ontbinding,

2. Kaskade of reeksontbinding,

3. Parallelle ontbinding.

In al die bogenoemde ontbindingsmetodes skakel ons eers die gegewe oorgangsfunksie om na differensiaalvergelykings, wat ook dinamiese vergelykings genoem word. Na die omskakeling na differensiaalvergelykings neem ons die inverse Laplace-transformasie van die bovergelijkings, dan kan ons model skep. Ons kan enige tipe oorgangsfunksie in 'n toestandmodel voorstel. Ons het verskeie tipes modelle soos elektriese modelle, meganiese modelle ens.

Uiting van Oorgangsmatriks in terme van A, B, C en D. Ons definieër die oorgangsmatriks as die Laplace-transformasie van die uitgang tot die Laplace-transformasie van die ingang.
Deur die toestandvergelykings weer te skryf en die Laplace-transformasie van beide die toestandvergelykings te neem (aangenome dat die beginvoorwaardes gelyk is aan nul) het ons

Ons kan die vergelyking skryf as

Waar, I 'n identiteitsmatriks is.
Nou vervang ons die waarde van X(s) in die vergelyking Y(s) en stel D = 0 (beteken dit is 'n nulmatriks) het ons

Die inverse van die matriks kan vervang word deur die adjunkte van die matriks gedeel deur die determinant van die matriks, nou herskryf ons die uitdrukking as

|sI-A| is ook bekend as die karakteristieke vergelyking wanneer dit gelyk gestel word aan nul.

Konsep van Eiewaardes en Eievektore

Die wortels van die karakteristieke vergelyking wat ons bo beskryf het, staan bekend as eiewaardes of eiewaardes van matriks A.
Nou is daar sommige eienskappe verbandhoudend met eiewaardes en hierdie eienskappe word hieronder geskryf-

1. Enige vier