تحلیل فضای حالت سیستم کنترل

قبل از آشنایی شما با مفهوم تحلیل فضای حالت سیستم کنترل، بسیار مهم است تا در اینجا تفاوت‌های بین نظریه سنتی سیستم کنترل و نظریه مدرن سیستم کنترل را بررسی کنیم.

1. نظریه کنترل سنتی کاملاً بر پایه رویکرد دامنه فرکانسی استوار است، در حالی که نظریه مدرن سیستم کنترل بر پایه رویکرد دامنه زمانی استوار است.

2. در نظریه کنترل سنتی تنها سیستم‌های خطی و غیر متغیر با زمان با ورودی و خروجی تک‌گانه (SISO) وجود دارد، اما با کمک نظریه مدرن سیستم کنترل می‌توان به راحتی تحلیل حتی سیستم‌های غیرخطی و متغیر با زمان با چندین ورودی و خروجی (MIMO) را نیز انجام داد.

3. در نظریه مدرن سیستم کنترل، تحلیل پایداری و تحلیل پاسخ زمانی می‌تواند به راحتی با استفاده از روش‌های گرافیکی و تحلیلی انجام شود.

حالا تحلیل فضای حالت سیستم کنترل بر پایه نظریه مدرن است که به تمام انواع سیستم‌ها مانند سیستم‌های با ورودی و خروجی تک‌گانه، سیستم‌های با چندین ورودی و خروجی، سیستم‌های خطی و غیرخطی، سیستم‌های متغیر و غیر متغیر با زمان قابل اعمال است. بیایید چند مفهوم پایه‌ای مربوط به تحلیل فضای حالت نظریه مدرن سیستم‌های کنترل را بررسی کنیم.

1. حالت در تحلیل فضای حالت : به کوچک‌ترین مجموعه متغیرها اشاره دارد که دانستن آن‌ها در زمان t = t0 همراه با دانستن ورودی برای t ≥ t0 اطلاعات کامل رفتار سیستم در هر زمان t ≥ t0 را فراهم می‌کند.

2. متغیرهای حالت در تحلیل فضای حالت : به کوچک‌ترین مجموعه متغیرها اشاره دارد که به ما کمک می‌کند حالت سیستم پویا را تعیین کنیم. متغیرهای حالت با x1(t), x2(t)……..Xn(t) تعریف می‌شوند.

3. بردار حالت : فرض کنید n متغیر حالت برای توصیف رفتار کامل سیستم داده شده نیاز است، آنگاه این n متغیر حالت به عنوان n مؤلفه یک بردار x(t) در نظر گرفته می‌شوند. چنین برداری به عنوان بردار حالت شناخته می‌شود.

4. فضای حالت : به فضای n بعدی اشاره دارد که محورهای x1 ، x2 ………xn را دارد.

معادلات فضای حالت

بیایید معادلات فضای حالت را برای سیستمی که خطی و غیر متغیر با زمان است مشتق کنیم.
فرض کنید سیستمی با چندین ورودی و چندین خروجی داریم که r ورودی و m خروجی دارد.
که، r = u1, u2, u3 ……….. ur.
و m = y1, y2 ……….. ym.
حالا ما n متغیر حالت را برای توصیف سیستم داده شده در نظر می‌گیریم بنابراین n = x1, x2, ……….. xn.
همچنین ما بردارهای ورودی و خروجی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم،
ترانهاده بردارهای ورودی،

که T ترانهاده ماتریس است.

ترانهاده بردارهای خروجی،

که T ترانهاده ماتریس است.
ترانهاده بردارهای حالت،

که T ترانهاده ماتریس است.
این متغیرها با مجموعه‌ای از معادلات مرتبط هستند که در زیر نوشته شده‌اند و به عنوان معادلات فضای حالت شناخته می‌شوند

نمایش مدل حالت با استفاده از تابع انتقال

تجزیه : به فرآیند به دست آوردن مدل حالت از تابع انتقال داده شده اشاره دارد. حالا می‌توانیم تابع انتقال را با استفاده از سه روش مختلف تجزیه کنیم:

1. تجزیه مستقیم،

2. تجزیه سری یا کASCADE،

3. تجزیه موازی.

در تمام روش‌های تجزیه بالا، ابتدا تابع انتقال داده شده را به معادلات دیفرانسیل (که نیز معادلات پویا نامیده می‌شوند) تبدیل می‌کنیم. پس از تبدیل به معادلات دیفرانسیل، تبدیل لاپلاس معکوس آن معادلات را می‌گیریم و سپس متناسب با نوع تجزیه مدلی ایجاد می‌کنیم. می‌توانیم هر نوع تابع انتقال را در مدل حالت نمایش دهیم. ما انواع مختلفی از مدل‌ها مانند مدل الکتریکی، مدل مکانیکی و غیره داریم.

بیان ماتریس انتقال به صورت A، B، C و D. ما ماتریس انتقال را به عنوان تبدیل لاپلاس خروجی به تبدیل لاپلاس ورودی تعریف می‌کنیم.
با نوشتن دوباره معادلات حالت و گرفتن تبدیل لاپلاس از هر دو معادله حالت (با فرض شرایط اولیه صفر) داریم

می‌توانیم معادله را به صورت زیر بنویسیم

که I یک ماتریس واحد است.
حالا با جایگذاری مقدار X(s) در معادله Y(s) و قرار دادن D = 0 (یعنی یک ماتریس صفر) داریم

وارون ماتریس می‌تواند با تقسیم متمم ماتریس بر دترمینان ماتریس جایگزین شود، حالا با بازنویسی عبارت داریم

|sI-A| نیز به عنوان معادله مشخصه شناخته می‌شود وقتی به صفر مساوی می‌شود.

مفهوم مقادیر ویژه و بردارهای ویژه