تحليل فضاء الحالة لنظام التحكم

قبل أن أقدم لك مفهوم تحليل الفضاء الحالة للنظام التحكم، من المهم جداً أن نناقش هنا الفروق بين النظرية التقليدية لنظام التحكم والنظرية الحديثة لنظام التحكم.

1. تقوم النظرية التقليدية لنظام التحكم بالاعتماد كلياً على النهج في مجال التردد بينما تقوم النظرية الحديثة لنظام التحكم بالاعتماد على النهج في المجال الزمني.

2. في النظرية التقليدية لنظام التحكم لدينا أنظمة خطية وغير متغيرة مع مرور الوقت ذات مدخل واحد ومخرج واحد فقط (SISO) ولكن بمساعدة نظرية نظام التحكم الحديثة يمكننا بسهولة تحليل حتى الأنظمة غير الخطية والتغير مع مرور الوقت ذات المداخل المتعددة والمخارج المتعددة (MIMO) أيضاً.

3. في النظرية الحديثة لنظام التحكم يمكن إجراء تحليل الاستقرار وتحليل استجابة الوقت بطريقة رسمية وتحليلية بسهولة.

الآن تحليل الفضاء الحالة لنظام التحكم يقوم على النظرية الحديثة التي تنطبق على جميع أنواع الأنظمة مثل الأنظمة ذات المدخل الواحد والمخرج الواحد، الأنظمة ذات المداخل المتعددة والمخارج المتعددة، الأنظمة الخطية وغير الخطية، الأنظمة المتغيرة مع مرور الوقت والأنظمة غير المتغيرة مع مرور الوقت. دعنا نعتبر بعض المصطلحات الأساسية المتعلقة بتحليل الفضاء الحالة للنظرية الحديثة لنظام التحكم.

1. الحالة في تحليل الفضاء الحالة : يشير إلى أصغر مجموعة من المتغيرات التي يكفي معرفتها عند t = t0 مع معرفة المدخل لـ t ≥ t0 للحصول على المعرفة الكاملة لسلوك النظام في أي وقت t ≥ t0.

2. متغيرات الحالة في تحليل الفضاء الحالة : يشير إلى أصغر مجموعة من المتغيرات التي تساعدنا في تحديد حالة النظام الديناميكي. يتم تعريف متغيرات الحالة بواسطة x1(t)، x2(t)……..Xn(t).

3. متجه الحالة : إذا كان هناك حاجة إلى n متغيرات حالة لوصف سلوك النظام المعطى بشكل كامل، فحينها تعتبر هذه المتغيرات الحالة n مكونات لمتجه x(t). يعرف هذا المتجه بمتجه الحالة.

4. فضاء الحالة : يشير إلى الفضاء ذي البعد n الذي يحتوي على محور x1 ، محور x2 ………محور xn.

معادلات الفضاء الحالة

دعونا نشتق معادلات الفضاء الحالة للنظام الخطي وغير المتغير مع مرور الوقت.
لنفترض نظامًا ذو مدخلات ومخرجات متعددة يحتوي على r مدخلات وm مخرجات.
حيث، r = u1، u2، u3 ……….. ur.
و m = y1، y2 ……….. ym.
نحن الآن نأخذ n متغيرات حالة لوصف النظام المعطى وبالتالي n = x1، x2، ……….. xn.
كما نحدد متجهات المدخل والمخرج كما يلي،
تحويل المتجهات المدخل،

حيث، T هو تحويل المصفوفة.

تحويل المتجهات المخرج،

حيث، T هو تحويل المصفوفة.
تحويل متجهات الحالة،

حيث، T هو تحويل المصفوفة.
ترتبط هذه المتغيرات بمجموعة من المعادلات المكتوبة أدناه وتُعرف بمعادلات الفضاء الحالة

تمثيل نموذج الحالة باستخدام دالة التحويل

التقطيع : يتم تعريفه بأنه العملية المستخدمة للحصول على نموذج الحالة من الدالة التحويل المعطاة. الآن يمكننا تقطيع الدالة التحويل باستخدام ثلاث طرق مختلفة:

1. التقطيع المباشر،

2. التقطيع المتسلسل أو التجزئة المتسلسلة،

3. التقطيع المتوازي.

في جميع الطرق السابقة للتقطيع نقوم أولاً بتحويل الدالة التحويل المعطاة إلى المعادلات التفاضلية والتي تُعرف أيضًا بالمعادلات الديناميكية. بعد تحويلها إلى المعادلات التفاضلية سنأخذ تحويل لابلاس العكسي للمعادلة ثم بناءً على نوع التقطيع يمكننا إنشاء النموذج. يمكننا تمثيل أي نوع من الدوال التحويلية في نموذج الحالة. لدينا أنواع مختلفة من النماذج مثل النموذج الكهربائي، النموذج الميكانيكي وغيرها.

تعبير عن مصفوفة التحويل من حيث A، B، C وD. نحدد مصفوفة التحويل كتحويل لابلاس للمخرج إلى تحويل لابلاس للمدخل.
بكتابة معادلات الحالة مرة أخرى وأخذ تحويل لابلاس لكلتا معادلات الحالة (بالافتراض أن الشروط الأولية تساوي الصفر) لدينا

يمكننا كتابة المعادلة ك

حيث، I هي مصفوفة الهوية.
الآن بتعويض قيمة X(s) في المعادلة Y(s) وضع D = 0 (أي أنها مصفوفة صفرية) لدينا

يمكن استبدال عكس المصفوفة بمقابل المصفوفة مقسومة على المحدد للمصفوفة، الآن بإعادة كتابة التعبير لدينا

|sI-A| يُعرف أيضًا باسم المعادلة المميزة عندما تُساوي الصفر.

مفهوم القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

جذور المعادلة المميزة التي قمنا بوصفها أعلاه تُعرف بالقيم الذاتية أو القيم الذاتية لمصفوفة A.
الآن هناك بعض الخصائص المتعلقة بالقيم الذاتية وهذه الخصائص مكتوبة أدناه-

1. أي مصفوفة مربعة A وعنصريتها المقلوبة At لها نفس القيم الذاتية.

2. مجموع القيم الذاتية لأي مصفوفة A يساوي أثر المصفوفة A.

3. حاصل ضرب القيم الذاتية لأي مصفوفة A يساوي المحدد للمصفوفة A.

4. إذا ضربنا كمية قياسية في مصفوفة A فإن القيم الذاتية تضرب أيضًا بنفس قيمة الكمية القياسية.

5. إذا عكسنا المصف