Sistema kontrolaren espazio egoiko analisia

Kontrol-sistemaaren espazioaren analisian sartzen zaitutela aipatu baino lehen, kontrol-sistemaren teoriarik tradizionala eta modernoa arteko alde desberdinei buruz hitz egin behar da.

1. Kontrol-sistemaren teoria konbenzionalak osoan datorren heinean, kontrol-sistemaren teoria modernoak denboraren erdigunean oinarrituta dago.

2. Kontrol-sistemaren teoria konbenzionalan, lineal eta denboraz inbariatuak diren sarrera bakarra eta irteera bakarra (SISO) dituzten sistemak soilik ditugu, baina kontrol-sistemaren teoria modernoaren laguntzaz, ez linealei eta denboraz aldatzeko moduan ere askotan sarrerak eta irteerak dituzten (MIMO) sistema-analisiak egitea erraza da.

3. Kontrol-sistemaren teoria modernoan, estabilitasun analisia eta denbora erantzuna grafiko eta analitiko moduan egitea erraza da.

Orain, kontrol-sistemaren espazioaren analisia moderno teorian oinarrituta dago, sistema batetako sarrera bakarra eta irteera bakarra dituzten sistema, sarrerak anitz eta irteerak anitz dituzten sistema, lineal eta ez lineal sistema, denboraz inbariatu eta denboraz aldatzen diren sistema guztietara aplikagarria da. Kontrol-sistemaren moderno teoriaren espazioaren analisiarekin lotutako termino batzuk hartuko ditugu kontuan.

1. Espazioaren analisian egoera : T = t0-tik hasi eta t ≥ t0-tik abiatuta, sistema-ren jardueraren osoa jakiteko beharrezko aldagaien multzo txikiena da.

2. Espazioaren analisian egoera aldagaiek : Dinamiko sistema-ren egoera jakiteko laguntzen duten aldagaien multzo txikiena dira. Egoera aldagaiek x1(t), x2(t)……..Xn(t) bezala definitzen dira.

3. Egoera bektorea : N egoera aldagairen beharra badago sistema osoaren jarduerari buruzko informazio osoa emateko, orduan n egoera aldagaiek x(t) bektorearen n osagai gisa hartzen dira. Bektore hau egoera bektorea deitzen da.

4. Egoera Espazioa : X1 ardatza, x2 ardatza ………xn ardatz dituen n dimentsioko espazioa da.

Espazioaren Ekuazioak

Lineal eta denboraz inbariatu den sistema-rentzat espazioaren ekuazioak lor dezagun.
Sarrera anitz eta irteera anitz dituen sistema bat hartu dezagun, non r sarrera eta m irteera dituen.
Non, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Eta m = y1, y2 ……….. ym.
Orain n egoera aldagaiei sistema hau deskribatzeko erabiliko dizkiegu, beraz, n = x1, x2, ……….. xn.
Garrantzitsu, sarrera eta irteera bektoreak honela definitzen dira,
Sarrera bektoreen transposatua,

Non, T matrizearen transposatua da.

Irteera bektoreen transposatua,

Non, T matrizearen transposatua da.
Egoera bektoreen transposatua,

Non, T matrizearen transposatua da.
Honek hurrengo ekuazioekin lotzen dira, espazioaren ekuazio deritzonak

Transfertsio Funtzioaren Bitartez Egoera Modelua Adierazteak

Deskonposizioa : Transfertsio funtzio batetik egoera modelua lortzearen prozesua da. Orain transfertsio funtzioa hiru modu desberdinetan deskonposa dezakegu:

1. Deskonposizio zuzena,

2. Deskonposizio seriekoa edo kaskada,

3. Deskonposizio paraleloa.

Goiko deskonposizio guztietan, lehenengo transfertsio funtzioa ekuazio diferentzialetan bihurtzen dugu, dinamikoki deituak. Ondoren, ekuazio horietarako Laplace-en transformazio inversoa egiten dugu, eta deskonposizio motaren arabera modelu bat sortzen dugu. Transfertsio funtzio batzuk egoera modeluan adieraz daitezke. Modelu elektriko, mekaniko etabideak ditugu.

A, B, C eta D-n oinarritutako Transfertsio Matrizearen Adierazpena. Transfertsio matrizea, irteeraren Laplace-en transformazioa sarreren Laplace-en transformazioari dagokiona da.
Eskuzko ekuazioak berriro idaztean eta Laplace-en transformazioa eginez (hasierako balioak zero izanik) ondorengo ekuazioak ditugu

Ondorengo ekuazioa idatz dezakegu

Non, I identitate matrizea da.
Orain X(s)-ren balioa Y(s) ekuazioan ordezkatuz eta D = 0 (matrize nulua dela esanez) ondorengo ekuazioa ditugu

Matrizearen alderantzizkoa matrizearen adjungatuaren zatiketa matrizearen determinantearekin ordezkatuz, ondorengo adierazpena idatz dezakegu

|sI-A| karakteristiko ekuazioa da zero egindakoan.

Eigen Balioen eta Eigen Bektoreen Kontzeptua

Goian azaldutako karakteristiko ekuazioaren erroei A matrizearen eigen balioak edo eigen balioak esaten zaie.
Orain eigen balioen inguruko propietate batzuk daude, eta hauek dira:

1. Edozein matrize karratu A eta bere transposatua At-ek eigen balio berberak dituzte.

2. A matrize baten eigen balioen batura A matrizearen traza da.

3. A matrize baten eigen balioen produktua A matrizearen determinantea da.

4. Scalar bat A matrizearekin biderkatzen bada, eigen balioak ere biderkatzen dira.

5. A matrizea alderantzikatzen bada, bere eigen balioak ere alderantzikatzen dira.

6. Matrizearen elementu guztiak erreala badira, matrize horren eigen balioak ere erreala edo konplexu konjugatu bikotean badira.