Tilstandsromanalyse av styresystem

Før jeg introduserer konseptet om tilstandsromsanalyse av styresystem, er det viktig å diskutere forskjellene mellom den konvensjonelle teorien om styresystem og moderne teorien om styresystem.

1. Den konvensjonelle kontrollteorien er helt basert på frekvensdomenet, mens moderne kontrollsystemteori er basert på tidsdomenet.

2. I den konvensjonelle teorien for styresystem har vi bare lineære og tidsinvariante enkel inn-enkel ut (SISO) systemer, men med hjelp av modern kontrollsystemteori kan vi lett analysere selv ikke-lineære og tidsvariante fler-inn-fler-ut (MIMO) systemer også.

3. I moderne teori for styresystem kan stabiliseringanalyse og tidsresponsanalyse lett utføres både grafisk og analytisk.

Nå er tilstandsromsanalyse av styresystem basert på moderne teori som gjelder for alle typer systemer som enkel inn-enkel ut-systemer, fler inn-fler ut-systemer, lineære og ikke-lineære systemer, tidsavhengige og tidsuavhengige systemer. La oss betrakte noen grunnleggende termer knyttet til tilstandsromsanalyse i moderne teori for styresystemer.

1. Tilstand i tilstandsromsanalyse : Det refererer til den minste mengden variabler hvis kunnskap ved t = t0 sammen med kunnskapen om inndata for t ≥ t0 gir fullstendig kunnskap om systemets oppførsel for enhver tid t ≥ t0.

2. Tilstandsvariabler i tilstandsromsanalyse : Det refererer til den minste mengden variabler som hjelper oss med å bestemme tilstanden til det dynamiske systemet. Tilstandsvariabler defineres som x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Tilstandsvektor : Hvis det trengs n tilstandsvariabler for å beskrive den fullstendige oppførselen av det gitte systemet, så regnes disse n tilstandsvariablene som n komponenter av en vektor x(t). Slik en vektor kalles tilstandsvektor.

4. Tilstandsrom : Det refererer til det n-dimensjonale rommet som har x1-aksen, x2-aksen ………xn-aksen.

Tilstandsromsligninger

La oss derivere tilstandsromsligninger for et system som er lineært og tidsuavhengig.
La oss betrakte fler inn-fler ut-system som har r inndata og m utdata.
Hvor, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Og m = y1, y2 ……….. ym.
Nå tar vi n tilstandsvariabler for å beskrive det gitte systemet, derfor n = x1, x2, ……….. xn.
Vi definerer også inndata- og utdatavektorer som,
Transponerte inndatavektorer,

Hvor, T er transposisjon av matrisen.

Transponerte utdatavektorer,

Hvor, T er transposisjon av matrisen.
Transponerte tilstandsvektorer,

Hvor, T er transposisjon av matrisen.
Disse variablene er relatert gjennom en rekke ligninger som er skrevet nedenfor og kjent som tilstandsromsligninger

Repræsentasjon av tilstandsmodell ved hjelp av overføringfunksjon

Dekomponering : Det er definert som prosessen med å få tilstandsmodellen fra den gitte overføringfunksjonen. Nå kan vi dekomponere overføringfunksjonen på tre ulike måter:

1. Direkte dekomponering,

2. Kaskade- eller serie-dekomponering,

3. Parallelle dekomponering.

I alle de ovennevnte dekomponeringsmetodene konverterer vi først den gitte overføringfunksjonen til differensialligninger, også kjent som dynamiske ligninger. Etter å ha konvertert til differensialligninger vil vi ta invers Laplace-transformasjon av den ovennevnte ligningen, og etter type dekomponering kan vi lage modell. Vi kan representere enhver type overføringfunksjon i tilstandsmodell. Vi har ulike typer modeller som elektriske modeller, mekaniske modeller osv.

Utrykk for overføringsmatrise i form av A, B, C og D. Vi definerer overføringsmatrisen som Laplace-transformasjonen av utdata til Laplace-transformasjonen av inndata.
Ved å skrive tilstandslikningene igjen og ta Laplace-transformasjon av begge tilstandslikninger (antatt at startbetingelsene er lik null) har vi

Vi kan skrive ligningen som

Hvor, I er en identitetsmatrise.
Nå ved å substituere verdien av X(s) i ligningen Y(s) og sette D = 0 (som betyr at det er en nullmatrise) har vi

Invers av matrise kan erstattes av adjoint av matrise delt på determinanten av matrisen, nå ved å omskrive uttrykket har vi

|sI-A| er også kjent som karakteristisk ligning når det settes lik null.

Konsept av egenverdier og egenvektorer

Røttene av den karakteristiske ligningen som vi har beskrevet over er kjent som egenverdier eller egenverdier av matrise A.
Nå er det noen egenskaper knyttet til egenverdier, og disse egenskapene er skrevet nedenfor-

1. Enhver kvadratisk matrise A og dens transponerte At har de samme egenverdiene.

2. Summen av egenverdiene til enhver matrise A er lik sporet av matrisen A.

3. Produktet av egenverdiene til enhver matrise A er lik determinanten av matrisen A.

4. Hvis vi multipliserer en skalar størrelse med matrise A, blir egenverdiene også multiplisert med samme verdi av skalaren.

5. Hvis vi inverterer den gitte matrisen A, blir dens egenverdier også invertert.

6. Hvis alle elementene i matrisen er reelle, er egenverdiene som svarer til denne matrisen enten reelle eller eksisterer i kompleks konjugert par.