제어 시스템의 상태 공간 분석
제어 시스템의 상태 공간 분석에 대해 소개하기 전에, 기존 제어 이론과 현대 제어 이론 사이의 차이점을 논하는 것이 매우 중요합니다.
기존 제어 이론은 주파수 영역 접근법을 완전히 기반으로 하며, 현대 제어 시스템 이론은 시간 영역 접근법을 기반으로 합니다.
기존 제어 시스템 이론에서는 선형이고 시간 불변인 단일 입력 단일 출력 (SISO) 시스템만 있지만, 현대 제어 시스템 이론을 통해 비선형이고 시간 변동적인 다중 입력 다중 출력 (MIMO) 시스템의 분석도 쉽게 할 수 있습니다.
현대 제어 시스템 이론에서는 안정성 분석 및 시간 응답 분석을 그래픽적 및 해석적으로 쉽게 수행할 수 있습니다.
제어 시스템의 상태 공간 분석은 모든 종류의 시스템, 즉 단일 입력 단일 출력 시스템, 다중 입력 및 다중 출력 시스템, 선형 및 비선형 시스템, 시간 변동 및 시간 불변 시스템에 적용되는 현대 이론을 기반으로 합니다. 이제 현대 제어 시스템 이론의 상태 공간 분석과 관련된 몇 가지 기본 용어를 고려해 보겠습니다.
상태 공간 분석에서의 상태 : 이는 t = t0 에서의 지식과 t ≥ t0 에서의 입력 지식이 주어졌을 때 시스템의 행동을 완전히 파악할 수 있는 최소한의 변수 집합을 의미합니다.
상태 공간 분석에서의 상태 변수 : 이것은 동적 시스템의 상태를 결정하는 데 도움이 되는 최소한의 변수 집합을 의미합니다. 상태 변수는 x1(t), x2(t)……..Xn(t)로 정의됩니다.
상태 벡터 : 주어진 시스템의 완전한 행동을 설명하기 위해 n개의 상태 변수가 필요하다면, 이러한 n개의 상태 변수는 벡터 x(t)의 n개 구성 요소로 간주됩니다. 이러한 벡터는 상태 벡터라고 알려져 있습니다.
상태 공간 : 이는 x1 축, x2 축 ………xn 축을 가진 n차원 공간을 의미합니다.
상태 공간 방정식
선형이고 시간 불변인 시스템에 대한 상태 공간 방정식을 유도해 보겠습니다.
다중 입력 및 다중 출력 시스템을 고려해 보겠습니다. 이 시스템은 r개의 입력과 m개의 출력을 가지고 있습니다.
여기서, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
그리고 m = y1, y2 ……….. ym.
이제 주어진 시스템을 설명하기 위해 n개의 상태 변수를 사용하므로 n = x1, x2, ……….. xn.
입력 및 출력 벡터를 다음과 같이 정의합니다.
입력 벡터의 전치,
여기서, T는 행렬의 전치입니다.
출력 벡터의 전치,
여기서, T는 행렬의 전치입니다.
상태 벡터의 전치,
여기서, T는 행렬의 전치입니다.
이 변수들은 아래에 작성된 방정식 세트로 관련되며, 이를 상태 공간 방정식이라고 합니다
전달 함수를 사용한 상태 모델 표현
분해 : 이는 주어진 전달 함수에서 상태 모델을 얻는 과정을 의미합니다. 이제 우리는 다음의 세 가지 방법으로 전달 함수를 분해할 수 있습니다:
직접 분해,
연속 또는 직렬 분해,
병렬 분해.
위의 모든 분해 방법에서 우리는 먼저 주어진 전달 함수를 미분 방정식, 즉 동적 방정식으로 변환합니다. 미분 방정식으로 변환한 후, 해당 방정식의 역 Laplace 변환을 취한 다음, 분해 유형에 따라 모델을 생성할 수 있습니다. 어떠한 유형의 전달 함수라도 상태 모델로 표현할 수 있습니다. 우리는 전기 모델, 기계 모델 등 다양한 종류의 모델을 가지고 있습니다.
A, B, C, D를 이용한 전달 행렬의 표현. 우리는 출력의 Laplace 변환에 대한 입력의 Laplace 변환을 전달 행렬로 정의합니다.
상태 방정식을 다시 작성하고 초기 조건을 0으로 가정하여 양쪽 상태 방정식의 Laplace 변환을 취하면
우리는 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다
여기서, I는 단위 행렬입니다.
이제 Y(s) 방정식에서 X(s)의 값을 대입하고 D = 0 (즉, null 행렬)로 설정하면
행렬의 역을 행렬의 adj로 나눈 것으로 대체할 수 있으며, 이제 표현을 다시 작성하면
|sI-A|는 0으로 설정될 때 특성 방정식으로 알려져 있습니다.
고유값과 고유벡터의 개념
위에서 설명한 특성 방정식의 근은 행렬 A의 고유값 또는 고유값으로 알려져 있습니다.
이제 고유값과 관련된 몇 가지 속성이 있으며, 이러한 속성은 아래에 작성되어 있습니다-
어떠한 정방 행렬 A와 그 전치 행렬 At는 같은 고유값을 가집니다.
어떠한 행렬 A의 고유값의 합은 행렬 A의 대각합과 같습니다.
어떠한 행렬 A의 고유값의 곱은 행렬 A의 행렬식과 같습니다.
어떠한 스칼라 값을 행렬 A에 곱하면 고유값도 같은 스칼라 값으로 곱해집니다.
주어진 행렬 A를 역행렬로 만들면 그 고유값도 역행렬로 만들어집니다.
행렬의 모든 원소가 실수이면 해당 행렬의 고유값은 실수이거나 복소수 켤레쌍으로 존재합니다.
이제 하나의 고유값에 대해 하나의 고유벡터가 존재하며, 다음 조건을 만족하면 (ek × I – A)Pk = 0. 여기서, k = 1, 2, 3, ……..n.
