ਸਟੇਟ ਸਪੇਸ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕੀ ਹੈ?
ਕੀ ਸਟੇਟ ਸਪੇਸ ਐਨਾਲਿਝਿਸ ਹੈ?
ਸਟੇਟ ਸਪੇਸ ਐਨਾਲਿਝਿਸ ਦਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਣ
ਕਨਟ੍ਰੋਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਸਟੇਟ ਸਪੇਸ ਐਨਾਲਿਝਿਸ ਇੱਕ ਮੰਜ਼ਲਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਹਿਜ ਅਤੇ ਜਟਿਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਓਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਨਾਲ ਵਿਸਥਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਵਿਧਵਾਨ ਵਿਚਾਰ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਸਟੇਟ ਸਪੇਸ ਸਮੀਕਰਣ
ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਨਿਯੁਕਤ ਸਿਸਟਮ ਲਈ ਸਟੇਟ ਸਪੇਸ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਕਈ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਕਈ ਆਉਟਪੁਟ ਵਾਲਾ ਸਿਸਟਮ ਲਿਆਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ r ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ m ਆਉਟਪੁਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜਿੱਥੇ, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
ਅਤੇ m = y1, y2 ……….. ym.
ਹੁਣ ਅਸੀਂ n ਸਟੇਟ ਵੈਰੀਅਬਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ n = x1, x2, ……….. xn.
ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ,
ਇਨਪੁਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਟਰਨਸਪੋਜ਼,
ਜਿੱਥੇ, T ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਟਰਨਸਪੋਜ਼ ਹੈ।
ਆਉਟਪੁਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਟਰਨਸਪੋਜ਼,
ਜਿੱਥੇ, T ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਟਰਨਸਪੋਜ਼ ਹੈ।
ਸਟੇਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਟਰਨਸਪੋਜ਼,
ਜਿੱਥੇ, T ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਟਰਨਸਪੋਜ਼ ਹੈ।
ਇਹ ਵੈਰੀਅਬਲ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦੇ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਥੇ ਲਿਖੇ ਗਏ ਹਨ ਅਤੇ ਸਟੇਟ ਸਪੇਸ ਸਮੀਕਰਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਟ੍ਰਾਨਸਫਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਟੇਟ ਮੋਡਲ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ
ਡੀਕੰਪੋਜਿਸ਼ਨ : ਇਹ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਟ੍ਰਾਨਸਫਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਸਟੇਟ ਮੋਡਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਟ੍ਰਾਨਸਫਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਅਲਗ-ਅਲਗ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਡੀਕੰਪੋਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਡਿਰੈਕਟ ਡੀਕੰਪੋਜਿਸ਼ਨ,
ਕੈਸਕੇਡ ਜਾਂ ਸੀਰੀਜ ਡੀਕੰਪੋਜਿਸ਼ਨ,
ਪੈਰਲੈਲ ਡੀਕੰਪੋਜਿਸ਼ਨ।
ਸਾਰੀਆਂ ਉਪਰੋਕਤ ਡੀਕੰਪੋਜਿਸ਼ਨ ਵਿਧੀਆਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਟ੍ਰਾਨਸਫਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡਾਇਨੈਮਿਕ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਡਾਇਨੈਮਿਕ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲਾਪਲੈਸ ਟਰਾਨਸਫਾਰਮ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਫਿਰ ਡੀਕੰਪੋਜਿਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਕਾਰ ਅਨੁਸਾਰ ਮੋਡਲ ਬਣਾਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਾ ਟ੍ਰਾਨਸਫਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਟੇਟ ਮੋਡਲ ਵਿੱਚ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦੇ ਮੋਡਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੀਕਲ ਮੋਡਲ, ਮੈਕਾਨਿਕਲ ਮੋਡਲ ਆਦਿ।
A, B, C ਅਤੇ D ਦੇ ਸਹਾਰੇ ਟ੍ਰਾਨਸਫਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ। ਅਸੀਂ ਟ੍ਰਾਨਸਫਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਦੇ ਲਾਪਲੈਸ ਟਰਾਨਸਫਾਰਮ ਨਾਲ ਆਉਟਪੁਟ ਦੇ ਲਾਪਲੈਸ ਟਰਾਨਸਫਾਰਮ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਸਟੇਟ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਸਟੇਟ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਲਾਪਲੈਸ ਟਰਾਨਸਫਾਰਮ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ (ਅੱਠਾਂਚਾਲੀ ਸਹਾਇਕਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ) ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਮੀਕਰਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਜਿੱਥੇ, I ਇੱਕ ਐਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
ਹੁਣ X(s) ਦੀ ਕੀਮਤ Y(s) ਵਿੱਚ ਸਹਾਰਾ ਦੇਣ ਅਤੇ D = 0 (ਇਸ ਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਇੱਕ ਨੁਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ) ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਅਡਜੋਇਨਟ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਹੁਣ ਇਸ ਅਭਿਵਿਖਿਆ ਨੂੰ ਫਿਰ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
|sI-A| ਜਿਸ ਨੂੰ ਚਰਿਤ੍ਰਵਾਦੀ ਸਮੀਕਰਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਰਾਬਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਈਗਨ ਵੈਲੂਜ਼ ਅਤੇ ਈਗਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਉਹ ਚਰਿਤ੍ਰਵਾਦੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਵਿਸਥਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਹ ਈਗਨ ਵੈਲੂਜ਼ ਜਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੀਆਂ ਈਗਨ ਵੈਲੂਜ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਹੁਣ ਇਹ ਕੁਝ ਈਗਨ ਵੈਲੂਆਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ ਜੋ ਇੱਥੇ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ-
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਕਵੇਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਟਰਨਸਪੋਜ਼ At ਦੀਆਂ ਈਗਨ ਵੈਲੂਆਂ ਸਹਿਜ ਹੀ ਹੋਣ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੀਆਂ ਈਗਨ ਵੈਲੂਆਂ ਦਾ ਯੋਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੇ ਟ੍ਰੇਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੀਆਂ ਈਗਨ ਵੈਲੂਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੇ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਈਗਨ ਵੈਲੂਆਂ ਨੂੰ ਵੀ ਉਸੀ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਇਸਦੀਆਂ ਈਗਨ ਵੈਲੂਆਂ ਨੂੰ ਵੀ ਇਨਵਰਸ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਉਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਈਗਨ ਵੈਲੂਆਂ ਨੂੰ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੁਗੇਟ ਜੋੜੀ ਵਿੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਹੁਣ ਇੱਕ ਈਗਨ ਵੈਲੂ ਦੀ ਇੱਕ ਈਗਨ ਵੈਕਟਰ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਇਸ ਹਾਲਤ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੈ (ek × I – A)Pk = 0. ਜਿੱਥੇ, k = 1, 2, 3, ……..n.
ਸਟੇਟ ਟ੍ਰਾਨਜਿਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਜਿਰੋ ਸਟੇਟ ਰੈਸਪੋਨਸ
