Što je analiza stanja?

Što je analiza stanja?

Definicija analize stanja

Analiza stanja sustava upravljanja je metoda kojom se analiziraju i jednostavni i složeni sustavi koristeći skup varijabli za opis njihovog ponašanja tijekom vremena.

Jednadžbe stanja

Derivirajmo jednadžbe stanja za sustav koji je linearan i vremenski invarijantan.

Razmotrimo sustav s više ulaza i više izlaza koji ima r ulaza i m izlaza.

Gdje je, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

I m = y1, y2 ……….. ym.

Sada uzimamo n varijabli stanja za opis danog sustava, stoga n = x1, x2, ……….. xn.

Također definiramo vektore ulaza i izlaza kao,

Transponirani vektori ulaza,

Gdje je, T transponirana matrica.

Transponirani vektori izlaza,

Gdje je, T transponirana matrica.

Transponirani vektori stanja,

Gdje je, T transponirana matrica.

Ove varijable su povezane skupom jednadžbi koje su napisane ispod i poznate su kao jednadžbe stanja.

Predstavljanje modela stanja koristeći funkciju prijenosa

Raspodjela : Definira se kao postupak dobivanja modela stanja iz date funkcije prijenosa. Sada možemo dekompozirati funkciju prijenosa na tri različita načina:

• Direktna dekompozicija,

• Kaskadna ili serija dekompozicija,

• Paralelna dekompozicija.

U svim gore navedenim metodama dekompozicije prvo pretvorimo datu funkciju prijenosa u diferencijalne jednadžbe, koje se također zovu dinamičke jednadžbe. Nakon pretvorbe u diferencijalne jednadžbe uzeti ćemo inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednadžbe, a zatim, prema vrsti dekompozicije, možemo stvoriti model. Bilo koju vrstu funkcije prijenosa možemo predstaviti u modelu stanja. Imamo različite vrste modela, poput električnog modela, mehaničkog modela itd.

Izraz matrice prijenosa u smislu A, B, C i D. Definiramo matricu prijenosa kao Laplaceovu transformaciju izlaza prema Laplaceovoj transformaciji ulaza.Ponovno napisavši jednadžbe stanja i uzimajući Laplaceovu transformaciju obje jednadžbe stanja (pretpostavljajući da su početni uvjeti jednaki nuli) imamo

Možemo napisati jednadžbu kao

Gdje je, I jedinična matrica

Sada zamjenjujući vrijednost X(s) u jednadžbi Y(s) i stavljajući D = 0 (što znači da je to nul-matrica) imamo

Inverz matrice može se zamijeniti adjungiranim matricama podijeljenim s determinantom matrice, sada ponovno prepisujemo izraz i imamo

|sI-A| također je poznat kao karakteristična jednadžba kada je jednak nuli.

Koncept svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora

Korijeni karakteristične jednadžbe koju smo opisali iznad poznati su kao svojstvene vrijednosti ili svojstvene vrijednosti matrice A.Sada postoje neka svojstva povezana s svojstvenim vrijednostima i ova svojstva su navedena ispod-

• Bilo koja kvadratna matrica A i njena transponirana At imaju iste svojstvene vrijednosti.

• Zbroj svojstvenih vrijednosti bilo koje matrice A jednak je tragu matrice A.

• Umnožak svojstvenih vrijednosti bilo koje matrice A jednak je determinanti matrice A.

• Ako pomnožimo skalarnu veličinu s matricom A, tada se svojstvene vrijednosti također pomnože s istom vrijednosti skalara.

• Ako invertiramo zadanu matricu A, tada se njene svojstvene vrijednosti također invertiraju.

• Ako su sve elemente matrice realne, tada su svojstvene vrijednosti odgovarajuće matrice ili realne ili postoje u kompleksnim konjugiranim parovima.

Postoji jedan svojstveni vektor odgovarajući jednoj svojstvenoj vrijednosti, ako zadovoljava sljedeći uvjet (ek × I – A)Pk = 0. Gdje je, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matrica prijelaza stanja i nulto stanje odziva

Zanima nas izvođenje izraza za matricu prijelaza stanja i nulto stanje odziva. Ponovno uzimajući jednadžbe stanja koje smo izveli iznad i uzimajući njihovu Laplaceovu transformaciju, imamo,

Sada prepisujemo gornju jednadžbu i imamo

Neka je [sI-A] -1 = θ(s) i uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednadžbe imamo

Izraz θ(t) poznat je kao matrica prijelaza stanja.

L-1.θ(t)BU(s) = nulto stanje odziva.

Sada razmotrimo neka svojstva matrice prijelaza stanja.

• Ako u gornjoj jednadžbi zamijenimo t = 0, dobit ćemo 1. Matematički možemo napisati θ(0) =1.

• Ako u θ(t) zamijenimo t = -t, dobit ćemo inverz θ(t). Matematički možemo napisati θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Imamo još jedno važno svojstvo [θ(t)]n = θ(nt).