Що таке аналіз простору станів?

Що таке аналіз простору станів?

Визначення аналізу простору станів

Аналіз простору станів систем керування - це метод аналізу як простих, так і складних систем за допомогою набору змінних для опису їх поведінки з часом.

Рівняння простору станів

Подамо виведення рівнянь простору станів для системи, яка є лінійною та інваріантною відносно часу.

Розглянемо систему з багатьма входами та багатьма виходами, яка має r входів та m виходів.

Де, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

А m = y1, y2 ……….. ym.

Тепер ми беремо n змінних стану для опису даної системи, тому n = x1, x2, ……….. xn.

Також ми визначаємо вектори входів та виходів як,

Транспонований вектор входів,

Де T - транспонована матриця.

Транспонований вектор виходів,

Де T - транспонована матриця.

Транспонований вектор станів,

Де T - транспонована матриця.

Ці змінні пов'язані набором рівнянь, які наведені нижче і відомі як рівняння простору станів.

Зображення моделі стану за допомогою передавальної функції

Декомпозиція : Вона визначається як процес отримання моделі стану з заданої передавальної функції. Тепер ми можемо декомпонувати передавальну функцію трьома різними способами:

• Пряма декомпозиція,

• Каскадна або послідовна декомпозиція,

• Паралельна декомпозиція.

У всіх вищезазначених методах декомпозиції спочатку перетворюємо задану передавальну функцію на диференціальні рівняння, які також називаються динамічними рівняннями. Після перетворення на диференціальні рівняння ми беремо обернене перетворення Лапласа над цим рівнянням, а потім, відповідно до типу декомпозиції, створюємо модель. Ми можемо представити будь-який тип передавальної функції в моделі стану. У нас є різні типи моделей, такі як електрична модель, механічна модель тощо.

Вираз матриці передачі через A, B, C та D. Ми визначаємо матрицю передачі як перетворення Лапласа виходу до перетворення Лапласа входу.Переписуючи рівняння стану ще раз і беручи перетворення Лапласа обох рівнянь стану (припустимо, що початкові умови дорівнюють нулю), ми маємо

Ми можемо записати рівняння як

Де I - одинична матриця

Тепер підставляючи значення X(s) у рівняння Y(s) і приймаючи D = 0 (тобто, це нульова матриця), ми маємо

Обернена матриця може бути замінена на присоєдену матрицю, поділену на детермінант матриці, тепер переписуючи вираз, ми маємо

|sI-A| також відомий як характеристичне рівняння, коли його прирівнюють до нуля.

Поняття власних значень та власних векторів

Корені характеристичного рівняння, яке ми описали вище, відомі як власні значення або власні значення матриці A.Тепер є деякі властивості, пов'язані з власними значеннями, і ці властивості наведені нижче-

• Любі квадратні матриці A та її транспонована At мають однакові власні значення.

• Сума власних значень будь-якої матриці A дорівнює сліду матриці A.

• Добуток власних значень будь-якої матриці A дорівнює детермінанту матриці A.

• Якщо ми помножимо скалярну величину на матрицю A, то власні значення також множаться на ту саму скалярну величину.

• Якщо ми обернемо задану матрицю A, то її власні значення також обертаються.

• Якщо всі елементи матриці дійсні, то власні значення, що відповідають цій матриці, є або дійсними, або існують в парах комплексно спряжених чисел.

Тепер існує один власний вектор, що відповідає одному власному значенню, якщо він задовольняє наступну умову (ek × I – A)Pk = 0. Де k = 1, 2, 3, ……..n.

Матриця переходу стану та відгук на нульовий стан

Ми тут зацікавлені у виведенні виразів для матриці переходу стану та відгуку на нульовий стан. Знову взявши рівняння стану, які ми вивели вище, і взявши їх перетворення Лапласа, ми маємо,

Тепер переписуючи вище рівняння, ми маємо

Нехай [sI-A] -1 = θ(s) і беручи обернене перетворення Лапласа над цим рівнянням, ми маємо

Вираз θ(t) відомий як матриця переходу стану.

L-1.θ(t)BU(s) = відгук на нульовий стан.

Тепер давайте обговоримо деякі властивості матриці переходу стану.

• Якщо ми підставимо t = 0 у вище рівняння, то ми отримаємо 1. Математично ми можемо записати θ(0) =1.

• Якщо ми підставимо t = -t у θ(t), то ми отримаємо обернену до θ(t). Математично ми можемо записати θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Ми також маємо іншу важливу властивість [θ(t)]n = θ(nt).