Wat is Toestandruimte-analise?
Wat is Toestandsruimte-analise?
Definisie van Toestandsruimte-analise
Toestandsruimte-analise van beheersysteme is 'n metode om beide eenvoudige en komplekse stelsels te analiseer deur 'n versameling veranderlikes te gebruik om hul gedrag oor tyd te beskryf.
Toestandsruimte-vergelykings
Laat ons toestandsruimte-vergelykings aflei vir die stelsel wat lineêr en tydinvariant is.
Laat ons 'n stelsel met meerdere invoere en -uitsette oorweeg wat r invoere en m uitsette het.
Waar, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
En m = y1, y2 ……….. ym.
Nou neem ons n toestandsveranderlikes om die gegewe stelsel te beskryf, dus n = x1, x2, ……….. xn.
Ons definieer ook invoer- en uitsetvektore as,
Transposisie van invoervektore,
Waar, T die transposisie van die matriks is.
Transposisie van uitsetvektore,
Waar, T die transposisie van die matriks is.
Transposisie van toestandsvektore,
Waar, T die transposisie van die matriks is.
Hierdie veranderlikes word verbind deur 'n versameling vergelykings wat hieronder geskryf word en bekend staan as toestandsruimte-vergelykings.
Voorstelling van Toestandsmodel deur oordrafunksie
Ontbinding : Dit word gedefinieer as die proses om die toestandsmodel te verkry uit die gegewe oordrafunksie. Nou kan ons die oordrafunksie ontbind op drie verskillende maniere:
Direkte ontbinding,
Kaskade- of reeksontbinding,
Parallelle ontbinding.
In al die bogenoemde ontbindingsmetodes verander ons eers die gegewe oordrafunksie in differensiaalvergelykings, wat ook dinamiese vergelykings genoem word. Na die verandering na differensiaalvergelykings neem ons die inverse Laplace-transformasie van die bo-vereenvoegde vergelyking en dan kan ons volgens die tipe ontbinding 'n model skep. Ons kan enige tipe oordrafunksie in 'n toestandsmodel voorstel. Ons het verskeie tipes modelle soos elektriese model, meganiese model ens.
Uitdrukking van Oordramatriks in terme van A, B, C en D. Ons definieër die oordramatriks as die Laplace-transformasie van die uitset tot die Laplace-transformasie van die invoer.Deur die toestandsvergelykings weer te skryf en die Laplace-transformasie van albei die toestandsvergelykings (met die aanname dat die beginvoorwaardes gelyk is aan nul) te neem, het ons
Ons kan die vergelyking skryf as
Waar, I 'n identiteitsmatriks is
Nou vervang ons die waarde van X(s) in die vergelyking Y(s) en stel D = 0 (beteken dit is 'n nulmatriks) het ons
Die inverse van 'n matriks kan vervang word deur die adjunkte van die matriks verdeel deur die determinant van die matriks, nou herformuleer ons die uitdrukking het ons
|sI-A| is ook bekend as karakteristieke vergelyking wanneer dit gelyk gestel word aan nul.
Konsep van Eiewaardes en Eievektore
Die wortels van die karakteristieke vergelyking wat ons hierbo beskryf het, word eiewaardes of eiewaardes van matriks A genoem.Nou is daar sekere eienskappe verwant aan eiewaardes en hierdie eienskappe word hieronder geskryf-
Enige vierkantige matriks A en sy transposisie At het dieselfde eiewaardes.
Die som van eiewaardes van enige matriks A is gelyk aan die spoor van die matriks A.
Die produk van die eiewaardes van enige matriks A is gelyk aan die determinant van die matriks A.
As ons 'n skalaarhoeveelheid met matriks A vermenigvuldig, dan word die eiewaardes ook met dieselfde hoeveelheid van die skalaar vermenigvuldig.
As ons die gegewe matriks A inverse, dan word sy eiewaardes ook geïnverseerd.
As alle elemente van die matriks werklik is, dan is die eiewaardes wat daaraan korrespondeer, óf werklik óf bestaan in 'n komplekse toegevoegde paar.
Daar bestaan een eievektor wat ooreenstem met een eiewaarde, as dit die volgende voorwaarde bevredig (ek × I – A)Pk = 0. Waar, k = 1, 2, 3, ……..n.
Toestandsoorgangsmatriks en Nul-toestand-reaksie
Ons is hier geïnteresseer in die afleiding van die uitdrukkings vir die toestandsoorgangsmatriks en nul-toestand-reaksie. Weer neem ons die toestandsvergelykings wat ons hierbo afgelei het en neem hul Laplace-transformasie, het ons,
Nou herskryf ons die bo-vereenvoegde vergelyking het ons
Laat [sI-A] -1 = θ(s) en neem die inverse Laplace van die bo-vereenvoegde vergelyking het ons
Die uitdrukking θ(t) is bekend as toestandsoorgangsmatriks.
L-1.θ(t)BU(s) = nul-toestand-reaksie.
Nou laat ons 'n paar eienskappe van die toestandsoorgangsmatriks bespreek.
As ons t = 0 in die bo-vereenvoegde vergelyking vervang, dan kry ons 1. Wiskundig kan ons θ(0) =1 skryf.
As ons t = -t in die θ(t) vervang, dan kry ons die inverse van θ(t). Wiskundig kan ons θ(-t) = [θ(t)]-1 skryf.
Ons het ook 'n ander belangrike eienskap [θ(t)]n = θ(nt).
