राज्य स्पेस विश्लेषण क्या है

स्टेट स्पेस विश्लेषण क्या है?

स्टेट स्पेस विश्लेषण की परिभाषा

नियंत्रण प्रणालियों के स्टेट स्पेस विश्लेषण में एक समुच्चय चरों का उपयोग करके सरल और जटिल दोनों प्रणालियों के व्यवहार का समय के साथ विश्लेषण किया जाता है।

स्टेट स्पेस समीकरण

आइए लीनियर और समय-निरपेक्ष प्रणाली के लिए स्टेट स्पेस समीकरण निकालें।

आइए r इनपुट और m आउटपुट वाली प्रणाली को ध्यान में रखें।

जहाँ, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

और m = y1, y2 ……….. ym.

अब हम n स्टेट चरों का उपयोग करके दी गई प्रणाली का वर्णन कर रहे हैं, अतः n = x1, x2, ……….. xn.

इनपुट और आउटपुट वेक्टरों को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है,

इनपुट वेक्टरों का ट्रांसपोज,

जहाँ, T मैट्रिक्स का ट्रांसपोज है।

आउटपुट वेक्टरों का ट्रांसपोज,

जहाँ, T मैट्रिक्स का ट्रांसपोज है।

स्टेट वेक्टरों का ट्रांसपोज,

जहाँ, T मैट्रिक्स का ट्रांसपोज है।

ये चर निम्न समीकरणों से संबद्ध होते हैं, जो स्टेट स्पेस समीकरण के रूप में जाने जाते हैं।

स्टेट मॉडल का ट्रांसफर फंक्शन द्वारा प्रतिनिधित्व

डिकंपोजिशन : यह दिए गए ट्रांसफर फंक्शन से स्टेट मॉडल प्राप्त करने की प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है। अब हम तीन अलग-अलग तरीकों से ट्रांसफर फंक्शन को डिकंपोज कर सकते हैं:

• सीधा डिकंपोजिशन,

• कैस्केड या श्रृंखला डिकंपोजिशन,

• समानांतर डिकंपोजिशन।

उपरोक्त सभी डिकंपोजिशन विधियों में, हम पहले दिए गए ट्रांसफर फंक्शन को डिफरेंशियल समीकरणों में परिवर्तित करते हैं, जिन्हें डायनामिक समीकरण भी कहा जाता है। डिफरेंशियल समीकरणों में परिवर्तित करने के बाद, हम ऊपरी समीकरण का इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म लेते हैं, फिर डिकंपोजिशन के प्रकार के अनुसार मॉडल बनाते हैं। हम किसी भी प्रकार के ट्रांसफर फंक्शन को स्टेट मॉडल में प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। हमारे पास विभिन्न प्रकार के मॉडल होते हैं, जैसे विद्युतीय मॉडल, यांत्रिक मॉडल आदि।

A, B, C और D के संदर्भ में ट्रांसफर मैट्रिक्स का व्यक्त करना। हम ट्रांसफर मैट्रिक्स को इनपुट के लाप्लास ट्रांसफॉर्म से आउटपुट के लाप्लास ट्रांसफॉर्म तक के रूप में परिभाषित करते हैं।स्टेट समीकरणों को फिर से लिखकर और दोनों स्टेट समीकरणों (प्रारंभिक स्थितियों को शून्य मानते हुए) का लाप्लास ट्रांसफॉर्म लेने पर हमारे पास

हम समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं

जहाँ, I एक इडेंटिटी मैट्रिक्स है

अब X(s) का मान Y(s) में प्रतिस्थापित करने और D = 0 (मतलब एक शून्य मैट्रिक्स) रखने पर हमारे पास

मैट्रिक्स का इन्वर्स मैट्रिक्स के अनुपात से विभाजित एड्जुगेट मैट्रिक्स द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, अब व्यंजक को फिर से लिखने पर हमारे पास

|sI-A| जब शून्य के बराबर रखा जाता है तो इसे विशेष गुणांक समीकरण के रूप में जाना जाता है।

इगन वैल्यू और इगन वेक्टर की अवधारणा

हमने ऊपर वर्णित विशेष गुणांक समीकरण के मूल इगन वैल्यू या मैट्रिक्स A के इगन वैल्यू के रूप में जाने जाते हैं।अब इगन वैल्यू से संबंधित कुछ गुण हैं और इन गुणों को नीचे लिखा गया है-

• किसी भी वर्ग मैट्रिक्स A और उसके ट्रांसपोज At के एक ही इगन वैल्यू होते हैं।

• किसी भी मैट्रिक्स A के इगन वैल्यू का योग मैट्रिक्स A के ट्रेस के बराबर होता है।

• किसी भी मैट्रिक्स A के इगन वैल्यू का गुणनफल मैट्रिक्स A के निर्धारक के बराबर होता है।

• यदि हम किसी स्केलर मात्रा को मैट्रिक्स A से गुणा करते हैं तो इगन वैल्यू भी उसी स्केलर मात्रा से गुणा हो जाते हैं।

• यदि हम दी गई मैट्रिक्स A का इन्वर्स लेते हैं तो उसके इगन वैल्यू भी इन्वर्स हो जाते हैं।

• यदि मैट्रिक्स के सभी तत्व वास्तविक हैं तो उस मैट्रिक्स के संबंधित इगन वैल्यू या तो वास्तविक होते हैं या सम्मिश्र संयुग्मित युग्म में मौजूद होते हैं।

अब एक इगन वैल्यू के लिए एक इगन वेक्टर मौजूद होता है, यदि यह निम्न स्थिति को संतुष्ट करता है (ek × I – A)Pk = 0. जहाँ, k = 1, 2, 3, ……..n.

स्टेट ट्रांसिशन मैट्रिक्स और जीरो स्टेट रिस्पांस

हम यहाँ स्टेट ट्रांसिशन मैट्रिक्स और जीरो स्टेट रिस्पांस के व्यंजकों को निकालने में रुचि रखते हैं। फिर से ऊपर निकाले गए स्टेट समीकरणों को लेकर और उनका लाप्लास ट्रांसफॉर्म लेने पर हमारे पास,

अब ऊपरी समीकरण को फिर से लिखने पर हमारे पास

[sI-A] -1 = θ(s) और ऊपरी समीकरण का इन्वर्स लाप्लास लेने पर हमारे पास

व्यंजक θ(t) को स्टेट ट्रांसिशन मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है।

L-1.θ(t)BU(s) = जीरो स्टेट रिस्पांस।

अब आइए स्टेट ट्रांसिशन मैट्रिक्स के कुछ गुणों पर चर्चा करें।

• यदि हम ऊपरी समीकरण में t = 0 रखते हैं तो हम 1 प्राप्त करते हैं। गणितीय रूप से हम θ(0) =1 लिख सकते हैं।

• यदि हम θ(t) में t = -t रखते हैं तो हम θ(t) का इन्वर्स प्राप्त करते हैं। गणितीय रूप से हम θ(-t) = [θ(t)]-1 लिख सकते हैं।

• हमारे पास एक और महत्वपूर्ण गुण [θ(t)]n = θ(nt) है।