Phân tích không gian trạng thái là gì?

Phân tích Không gian trạng thái là gì?

Định nghĩa Phân tích Không gian trạng thái

Phân tích không gian trạng thái của hệ thống điều khiển là phương pháp phân tích cả hệ thống đơn giản và phức tạp bằng cách sử dụng một tập hợp các biến để mô tả hành vi của chúng theo thời gian.

Phương trình Không gian trạng thái

Hãy dẫn xuất các phương trình không gian trạng thái cho hệ thống tuyến tính và bất biến theo thời gian.

Hãy xem xét hệ thống có nhiều đầu vào và nhiều đầu ra với r đầu vào và m đầu ra.

Trong đó, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Và m = y1, y2 ……….. ym.

Bây giờ chúng ta đang lấy n biến trạng thái để mô tả hệ thống được cho, do đó n = x1, x2, ……….. xn.

Chúng ta cũng định nghĩa các vector đầu vào và đầu ra như sau,

Chuyển vị của vector đầu vào,

Trong đó, T là chuyển vị của ma trận.

Chuyển vị của vector đầu ra,

Trong đó, T là chuyển vị của ma trận.

Chuyển vị của vector trạng thái,

Trong đó, T là chuyển vị của ma trận.

Các biến này được liên kết bởi một tập hợp các phương trình được viết dưới đây và được gọi là phương trình không gian trạng thái

Biểu diễn Mô hình trạng thái bằng Hàm truyền

Phân giải : Nó được định nghĩa là quá trình nhận được mô hình trạng thái từ hàm truyền đã cho. Bây giờ chúng ta có thể phân giải hàm truyền bằng ba cách khác nhau:

• Phân giải trực tiếp,

• Phân giải theo chuỗi hoặc theo thứ tự,

• Phân giải song song.

Trong tất cả các phương pháp phân giải trên, chúng ta trước tiên chuyển đổi hàm truyền đã cho thành các phương trình vi phân, còn được gọi là phương trình động. Sau khi chuyển đổi thành phương trình vi phân, chúng ta sẽ lấy biến đổi Laplace nghịch đảo của phương trình trên, sau đó tuỳ thuộc vào loại phân giải, chúng ta có thể tạo mô hình. Chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ loại hàm truyền nào trong mô hình trạng thái. Chúng ta có nhiều loại mô hình như mô hình điện, mô hình cơ học, v.v.

Biểu thức Ma trận truyền theo A, B, C và D. Chúng ta định nghĩa ma trận truyền là biến đổi Laplace của đầu ra đến biến đổi Laplace của đầu vào.Khi viết lại các phương trình trạng thái và lấy biến đổi Laplace của cả hai phương trình trạng thái (giả sử các điều kiện ban đầu bằng không) chúng ta có

Chúng ta có thể viết phương trình như sau

Trong đó, I là ma trận đơn vị

Bây giờ thay giá trị của X(s) vào phương trình Y(s) và đặt D = 0 (có nghĩa là ma trận rỗng) chúng ta có

Ngược của ma trận có thể thay thế bằng phần bù của ma trận chia cho định thức của ma trận, bây giờ khi viết lại biểu thức chúng ta có

|sI-A| cũng được gọi là phương trình đặc trưng khi được đặt bằng không.

Khái niệm về Giá trị riêng và Vectơ riêng

Các nghiệm của phương trình đặc trưng mà chúng ta đã mô tả ở trên được gọi là giá trị riêng hoặc giá trị riêng của ma trận A.Bây giờ có một số tính chất liên quan đến giá trị riêng và các tính chất này được viết dưới đây -

• Bất kỳ ma trận vuông A và ma trận chuyển vị At đều có cùng giá trị riêng.

• Tổng của các giá trị riêng của bất kỳ ma trận A nào đều bằng vết của ma trận A.

• Tích của các giá trị riêng của bất kỳ ma trận A nào đều bằng định thức của ma trận A.

• Nếu chúng ta nhân một lượng vô hướng với ma trận A thì các giá trị riêng cũng được nhân với cùng giá trị vô hướng đó.

• Nếu chúng ta nghịch đảo ma trận A đã cho thì các giá trị riêng của nó cũng được nghịch đảo.

• Nếu tất cả các phần tử của ma trận là thực thì các giá trị riêng tương ứng với ma trận đó là thực hoặc tồn tại theo cặp liên hợp phức.

Bây giờ tồn tại một vectơ riêng tương ứng với một giá trị riêng, nếu nó thỏa mãn điều kiện sau (ek × I – A)Pk = 0. Trong đó, k = 1, 2, 3, ……..n.

Ma trận chuyển trạng thái và Phản hồi trạng thái không

Chúng ta quan tâm đến việc dẫn xuất các biểu thức cho ma trận chuyển trạng thái và phản hồi trạng thái không. Lại lấy các phương trình trạng thái mà chúng ta đã dẫn xuất ở trên và lấy biến đổi Laplace của chúng, chúng ta có,

Bây giờ viết lại phương trình trên, chúng ta có

Đặt [sI-A] -1 = θ(s) và lấy biến đổi Laplace ngược của phương trình trên, chúng ta có

Biểu thức θ(t) được gọi là ma trận chuyển trạng thái.

L-1.θ(t)BU(s) = phản hồi trạng thái không.

Bây giờ hãy thảo luận về một số tính chất của ma trận chuyển trạng thái.

• Nếu chúng ta thay t = 0 vào phương trình trên, chúng ta sẽ nhận được 1. Toán học, chúng ta có thể viết θ(0) =1.

• Nếu chúng ta thay t = -t vào θ(t), chúng ta sẽ nhận được nghịch đảo của θ(t). Toán học, chúng ta có thể viết θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Chúng ta cũng có một tính chất quan trọng khác [θ(t)]n = θ(nt).