מהי ניתוח מרחבי מצב?

מהי ניתוח מרחב מצבים?

הגדרת ניתוח מרחב מצבים

ניתוח מרחב המצבים של מערכות בקרה הוא שיטה לנתח מערכות פשוטות ומרובות באמצעות קבוצת משתנים לתיאור התנהגותן לאורך זמן.

משוואות מרחב מצבים

נגזר את משוואות מרחב המצבים עבור המערכת שהיא ליניארית ולא תלויה בזמן.

נניח מערכת עם מספר כניסות ויציאות שיש לה r כניסות ו-m יציאות.

כאשר, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

ו-m = y1, y2 ……….. ym.

עכשיו אנו מגדירים n משתני מצב לתיאור המערכת הנתונה לכן n = x1, x2, ……….. xn.

כמו כן, אנו מגדירים וקטורי כניסה ויציאה כ,

טרנספוזיציה של וקטורי כניסה,

כאשר, T היא טרנספוזיציה של המטריצה.

טרנספוזיציה של וקטורי יציאה,

כאשר, T היא טרנספוזיציה של המטריצה.

טרנספוזיציה של וקטורי מצב,

כאשר, T היא טרנספוזיציה של המטריצה.

המשתנים הללו קשורים על ידי קבוצת משוואות שנכתבות למטה ושנקראות משוואות מרחב המצבים

הצגת מודל מצב באמצעות פונקציית העברה

פירוק : זה מוגדר כהליך של קבלת מודל מצב מהפונקציה ההעברה הנתונה. עכשיו ניתן לפצל את הפונקציה ההעברה בשלוש דרכים שונות:

• פירוק ישיר,

• פירוק סידורי או последовательный,

• פירוק מקביל.

בכל שיטות הפירוק הנ"ל אנחנו קודם כל ממירים את הפונקציה ההעברה הנתונה למשוואות דיפרנציאליות שנקראות גם משוואות דינמיות. לאחר המרת המשוואות הדיפרנציאליות ניקח את התמרת לפלס ההפוכה של המשוואה ואז בהתאם לסוג הפירוק ניתן ליצור מודל. ניתן לייצג כל סוג של פונקציה העברה במודל מצב. יש לנו סוגים שונים של מודלים כמו מודל חשמלי, מודל מכני וכדומה.

ביטוי של מטריצת העברה במונחים של A, B, C ו-D. אנו מגדירים מטריצת העברה כתמרת לפלס של היציאה לתמרת לפלס של הכניסה.כשמכתובים שוב את משוואות המצב וניקח את תמרת לפלס של שתי משוואות המצב (בהנחה שהמצב ההתחלתי שווה לאפס) יש לנו

ניתן לכתוב את המשוואה כ

כאשר, I היא מטריצת הזהות

עכשיו על ידי החלפת ערך X(s) במשוואה Y(s) והצבת D = 0 (כלומר מטריצה ריקה) יש לנו

ההפכי של מטריצה יכול להחליף על ידי הצמוד של המטריצה מחולק בדטרמיננטה של המטריצה, עכשיו על ידי כתיבת מחדש של הביטוי יש לנו

|sI-A| ידוע גם כמשוואה מאפיינת כאשר מתאפסת.

המושג של ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

שורשיה של המשוואה המאפיינת שתוארה למעלה הם ידועים כערכים עצמיים או ערכים עצמיים של מטריצה A.עכשיו יש כמה תכונות הקשורות לערכים עצמיים והתכונות הללו כתובות למטה-

• כל מטריצה ריבועית A והטרנספוזיציה שלה At יש להם אותם ערכים עצמיים.

• סכום הערכים העצמיים של כל מטריצה A שווה לעקב של המטריצה A.

• מכפלת הערכים העצמיים של כל מטריצה A שווה לדטרמיננטה של המטריצה A.

• אם נכפיל כמות סקלרית למטריצה A אז הערכים העצמיים גם נכפילים באותו ערך סקלרי.

• אם נהפוך את המטריצה A נתונה אז הערכים העצמיים שלה גם נהפכו.

• אם כל האלמנטים של המטריצה הם ממשיים אז הערכים העצמיים המתאימים למטריצה הם או ממשיים או קיימים בזוגות צמודים מרוכבים.

ישנם וקטור עצמי אחד המתאים לערך עצמי אחד, אם הוא מקיים את התנאי הבא (ek × I – A)Pk = 0. כאשר, k = 1, 2, 3, ……..n.

מטריצת מעבר מצב והתגובה מצב אפס

אנחנו מעוניינים כאן לגזור את הביטויים עבור מטריצת מעבר מצב והתגובה מצב אפס. שוב על ידי כתיבת משוואות המצב שאנו גזרנו למעלה ולקיחת התמרת לפלס שלהם יש לנו,

עכשיו על ידי כתיבת מחדש של המשוואה הנ"ל יש לנו

נניח [sI-A] -1 = θ(s) וניקח את התמרת לפלס ההפוכה של המשוואה הנ"ל יש לנו

הביטוי θ(t) ידוע כמטריצת מעבר מצב.

L-1.θ(t)BU(s) = התגובה מצב אפס.

עכשיו נדון בכמה מהמאפיינים של מטריצת מעבר מצב.

• אם נציב t = 0 במשוואה הנ"ל אז נקבל 1. מתמטית אפשר לכתוב θ(0) =1.

• אם נציב t = -t ב- θ(t) אז נקבל את ההופכי של θ(t). מתמטית אפשר לכתוב θ(-t) = [θ(t)]-1.

• יש לנו גם מאפיין חשוב נוסף [θ(t)]n = θ(nt).