상태공간 분석이란 무엇인가요

상태 공간 분석이란?

상태 공간 분석의 정의

제어 시스템의 상태 공간 분석은 시간에 따른 행동을 설명하기 위해 일련의 변수를 사용하여 간단한 시스템과 복잡한 시스템 모두를 분석하는 방법입니다.

상태 공간 방정식

선형이고 시간 불변인 시스템에 대한 상태 공간 방정식을 유도해 보겠습니다.

여러 입력과 여러 출력을 가진 시스템을 고려해 보겠습니다. 이 시스템은 r개의 입력과 m개의 출력을 가지고 있습니다.

여기서, r = u1, u2, u3 ……….. ur 입니다.

그리고 m = y1, y2 ……….. ym 입니다.

이제 주어진 시스템을 설명하기 위해 n개의 상태 변수를 사용하므로 n = x1, x2, ……….. xn 입니다.

또한 입력 벡터와 출력 벡터를 다음과 같이 정의합니다.

입력 벡터의 전치,

여기서, T는 행렬의 전치입니다.

출력 벡터의 전치,

여기서, T는 행렬의 전치입니다.

상태 벡터의 전치,

여기서, T는 행렬의 전치입니다.

이 변수들은 아래에 작성된 일련의 방정식들로 연결되며, 이러한 방정식들은 상태 공간 방정식으로 알려져 있습니다.

전달 함수를 사용한 상태 모델 표현

분해 : 주어진 전달 함수에서 상태 모델을 얻는 과정으로 정의됩니다. 이제 우리는 세 가지 다른 방법으로 전달 함수를 분해할 수 있습니다:

• 직접 분해,

• 순차 또는 직렬 분해,

• 병렬 분해.

위의 모든 분해 방법에서 우리는 먼저 주어진 전달 함수를 미분 방정식(동적 방정식이라고도 함)으로 변환합니다. 미분 방정식으로 변환한 후 위의 방정식에 역 라플라스 변환을 취하면, 분해 유형에 따라 모델을 생성할 수 있습니다. 어떠한 종류의 전달 함수라도 상태 모델로 표현할 수 있습니다. 우리는 전기 모델, 기계 모델 등 다양한 종류의 모델을 가지고 있습니다.

A, B, C, D의 관점에서 전달 행렬의 표현. 우리는 전달 행렬을 출력의 라플라스 변환을 입력의 라플라스 변환으로 정의합니다.상태 방정식을 다시 작성하고, 초기 조건이 0이라고 가정하여 양쪽 상태 방정식의 라플라스 변환을 취하면 다음과 같습니다.

우리는 다음 방정식으로 쓸 수 있습니다.

여기서, I는 단위 행렬입니다.

X(s)의 값을 Y(s) 방정식에 대입하고 D = 0 (즉, 영행렬)로 설정하면 다음과 같습니다.

행렬의 역수는 행렬의 여인자로 나눈 행렬의 행렬식으로 대체할 수 있으며, 이를 다시 써 보면 다음과 같습니다.

|sI-A|는 0으로 설정될 때 특성 방정식으로 알려져 있습니다.

고유값과 고유벡터의 개념

위에서 설명한 특성 방정식의 근은 A 행렬의 고유값 또는 고유값으로 알려져 있습니다.고유값과 관련된 몇 가지 속성이 있으며, 이러한 속성은 아래에 나열되어 있습니다.

• 어떠한 제곱 행렬 A와 그 전치 At는 같은 고유값을 가집니다.

• 어떠한 행렬 A의 고유값의 합은 행렬 A의 대각합과 같습니다.

• 어떠한 행렬 A의 고유값의 곱은 행렬 A의 행렬식과 같습니다.

• 행렬 A에 스칼라 값을 곱하면 고유값도 동일한 스칼라 값으로 곱해집니다.

• 주어진 행렬 A를 역행렬로 만들면 그 고유값도 역행렬로 됩니다.

• 행렬의 모든 요소가 실수라면, 해당 행렬에 대한 고유값은 실수이거나 복소수 켤레 쌍으로 존재합니다.

한 고유값에 대해 한 개의 고유벡터가 존재하며, 다음 조건을 만족해야 합니다: (ek × I – A)Pk = 0. 여기서, k = 1, 2, 3, ……..n입니다.

상태 전이 행렬과 영 상태 응답

우리는 여기서 상태 전이 행렬과 영 상태 응답의 표현을 도출하는 데 관심이 있습니다. 다시 상태 방정식을 가져와 라플라스 변환을 취하면 다음과 같습니다.

이제 위의 방정식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.

[sI-A] -1 = θ(s)라고 하면, 위의 방정식의 역 라플라스 변환을 취하면 다음과 같습니다.

θ(t)라는 표현은 상태 전이 행렬로 알려져 있습니다.

L-1.θ(t)BU(s) = 영 상태 응답입니다.

이제 상태 전이 행렬의 몇 가지 속성에 대해 논의해 보겠습니다.

• 위의 방정식에서 t = 0을 대입하면 1을 얻습니다. 수학적으로 θ(0) = 1로 쓸 수 있습니다.

• θ(t)에서 t = -t를 대입하면 θ(t)의 역행렬을 얻습니다. 수학적으로 θ(-t) = [θ(t)]-1로 쓸 수 있습니다.

• 우리는 또한 [θ(t)]n = θ(nt)라는 중요한 속성을 가집니다.