Zein da Egoera Espazio Analisia?

Zer da Ego Espazio Analisia?

Ego Espazio Analisiaren Definizioa

Kontrol-sistemak ego espazio analisian erabiliz, aldagai multzo bat erabiliz denboran euren portaera deskribatzeko metodo bat da, sistemak sinpleak edo konplexuak izan daitezkeen.

Ego Espazio Ekuazioak

Let us derive state space equations for the system which is linear and time invariant.

Let us consider multiple inputs and multiple outputs system which has r inputs and m output.

Where, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

And m = y1, y2 ……….. ym.

Now we are taking n state variables to describe the given system hence n = x1, x2, ……….. xn.

Also we define input and output vectors as,

Transpose of input vectors,

Where, T is transpose of the matrix.

Transpose of output vectors,

Where, T is transpose of the matrix.

Transpose of state vectors,

Where, T is transpose of the matrix.

These variables are related by a set of equations which are written below and are known as state space equations

Transfer Funtzioarekin Ego Modelaren Adierazpena

Banaketza : Hau transfer funtzio jakin batetik ego modela lortzeko prozesua denean zehazten da. Orain transfer funtzioa hiru modu desberdinetan bana daiteke:

• Banaketa zuzena,

• Banaketa seriekoa edo kaskada,

• Banaketa paraleloa.

Gorako banaketetan guztietan, lehenik eta behin, emandako transfer funtzioa ekuazio diferentzialetan bihurtuko dugu, dinamiko ekuazioei ere esaten zaizkie. Ekuazio diferentzialetara bihurtutako ondoren, Laplaceren transformazio inversoa hartuko dugu, eta banaketa motari dagokionez, model bat sortuko dugu. Edonolako transfer funtzioa ego modelan adieraz daiteke. Elektriko model, mekaniko model, etab.

A, B, C eta D terminoen bidez Transfer Matrizearen Adierazpena. Transfer matrizea irteeren Laplaceren transformazioa sarreren Laplaceren transformazioari zatitzen denean definitzen da.Eta berriro, ego ekuazioak idazten ditugunean, Laplaceren transformazioa hartuta (hasierako baldintzak zero direla suposatuta) dugu

Ekuazioa honela idatz dezakegu

Non, I identitate matrizea den

Orain X(s)-ren balioa Y(s) ekuazioan ordezkatuta, eta D = 0 hartuta (null matrizea dela esan nahi duena) dugu

Matrize baten alderantzizkoa matrizearen adjointea bere determinantearen arteko zatiketa gisa ordezkatu dezakegu, eta adierazpena berriro idazten badugu, honela geratzen da

|sI-A| karakteristiko ekuazioa da, zeroez ekuatzean.

Eigen Balioak eta Eigen Bektoreak

Gainean azaltutako karakteristiko ekuazioaren erroak A matrizearen eigen balioak edo eigen balioak dira.Orain, eigen balioekin lotutako zenbait propietate daude, eta hauek azpian idazten dira-

• Edozein matrize karratu A eta bere transposatua At-ek eigen balio berdinak dituzte.

• Edozein matrize A-ren eigen balioen batura A matrizearen traza da.

• Edozein matrize A-ren eigen balioen biderkadura A matrizearen determinantea da.

• Scalar bat A matrizearekin biderkatzen bada, eigen balioak ere scalarki biderkatuko dira.

• Emandako A matrizea alderantzikatzen bada, bere eigen balioak ere alderantzikatuko dira.

• Matrizearen elementu guztiak erreala badira, horren eigen balioak ere errealak edo konplexuen bikote konjugatuak dira.

Orain, eigen balio bakoitzarentzat, eigen bektore bat existitzen da, baldin eta baldintza hau betetzen badu (ek × I – A)Pk = 0. Non, k = 1, 2, 3, ……..n.

Ego Trantsizio Matrizea eta Zero Ego Erantzuna

Hemen, ego trantsizio matrizearen eta zero ego erantzunaren adierazpenak lorreko ditugu. Berriro, goian lortutako ego ekuazioak hartuta, eta Laplaceren transformazioa eginez, dugu

Orain, ekuazioa berriro idazten badugu, dugu

[sI-A] -1 = θ(s) hartuta, eta ekuazio honen Laplaceren transformazio inversoa hartuta, dugu

θ(t) adierazpena ego trantsizio matrizea da.

L-1.θ(t)BU(s) = zero ego erantzuna.

Orain, ego trantsizio matrizearen zenbait propietate aztertuko ditugu.

• T = 0 ordezkatzen badugu ekuazioan, 1 lortuko dugu. Matematikoki, θ(0) =1 idatz dezakegu.

• T = -t ordezkatzen badugu θ(t)-n, θ(t)ren alderantzizkoa lortuko dugu. Matematikoki, θ(-t) = [θ(t)]-1 idatz dezakegu.

• Beste propietate garrantzitsua ere [θ(t)]n = θ(nt).