Какво е анализ на състоянието?

Какво е анализът на състоянието?

Определение на анализът на състоянието

Анализът на състоянието на системите за управление е метод за анализ на както прости, така и сложни системи, използвайки набор от променливи, за да се опишат техните поведения в течение на времето.

Уравнения на състоянието

Нека изведем уравненията на състоянието за система, която е линейна и инвариантна спрямо времето.

Нека разгледаме система с много входове и много изходи, която има r входа и m изхода.

Където, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

И m = y1, y2 ……….. ym.

Сега взимаме n променливи на състоянието, за да опишем дадената система, следователно n = x1, x2, ……….. xn.

Също така дефинираме векторите на входа и изхода като,

Транспониране на векторите на входа,

Където, T е транспониране на матрицата.

Транспониране на векторите на изхода,

Където, T е транспониране на матрицата.

Транспониране на векторите на състоянието,

Където, T е транспониране на матрицата.

Тези променливи са свързани чрез набор от уравнения, които са написани по-долу и са известни като уравнения на състоянието.

Представяне на модела на състоянието чрез преходна функция

Декомпозиция: Тя е дефинирана като процеса на получаване на модела на състоянието от дадената преходна функция. Сега можем да декомпозираме преходната функция по три различни начина:

• Директна декомпозиция,

• Каскадна или редова декомпозиция,

• Паралелна декомпозиция.

Във всички гореспоменати методи на декомпозиция първо превръщаме дадената преходна функция в диференциални уравнения, които също са известни като динамични уравнения. След превръщането в диференциални уравнения взимаме обратното преобразувание на Лаплас на горното уравнение, след което съответно на типа на декомпозицията можем да създадем модел. Можем да представим всякакъв тип преходна функция в модел на състоянието. Имаме различни видове модели като електрически модели, механични модели и т.н.

Изразяване на преходната матрица чрез A, B, C и D. Дефинираме преходната матрица като преобразуване на Лаплас на изхода към преобразуването на Лаплас на входа.При записване отново на уравненията на състоянието и вземане на преобразуването на Лаплас на двете уравнения (при приемане, че началните условия са равни на нула), имаме

Можем да запишем уравнението като

Където, I е единична матрица

Сега замествайки стойността на X(s) в уравнението Y(s) и полагайки D = 0 (което означава, че е нулева матрица), имаме

Обратната матрица може да бъде заместена от приложение на матрицата, разделено на детерминантата на матрицата, сега при переписване на израза имаме

|sI-A| е известен и като характеристично уравнение, когато е приравнено на нула.

Концепция за собствени стойности и собствени вектори

Корените на характеристикото уравнение, което описахме по-горе, са известни като собствени стойности или собствени стойности на матрицата A.Сега има някои свойства, свързани с собствените стойности, и тези свойства са написани по-долу-

• Всяка квадратна матрица A и нейната транспонирана At имат едни и същи собствени стойности.

• Сборът от собствените стойности на всяка матрица A е равен на следата на матрицата A.

• Произведението от собствените стойности на всяка матрица A е равно на детерминантата на матрицата A.

• Ако умножим скаларна величина по матрицата A, то собствените стойности също се умножават със същата стойност на скалара.

• Ако обратим дадената матрица A, то собствените ѝ стойности също се обратят.

• Ако всички елементи на матрицата са реални, то собствените стойности, съответстващи на тази матрица, са или реални, или съществуват в комплексно спрегнати двойки.

Сега съществува един собствен вектор, съответстващ на една собствена стойност, ако удовлетворява следното условие (ek × I – A)Pk = 0. Където, k = 1, 2, 3, ……..n.

Матрица на прехода на състоянието и отговор при нулево състояние

Занимаваме се с извеждането на изразите за матрицата на прехода на състоянието и отговора при нулево състояние. Отново взимайки уравненията на състоянието, които сме извели по-горе, и вземайки техното преобразуване на Лаплас, имаме,

Сега при переписване на горното уравнение имаме

Нека [sI-A] -1 = θ(s) и взимайки обратното преобразувание на Лаплас на горното уравнение, имаме

Изразът θ(t) е известен като матрица на прехода на състоянието.

L-1.θ(t)BU(s) = отговор при нулево състояние.

Сега нека обсъдим някои от свойствата на матрицата на прехода на състоянието.

• Ако заместим t = 0 в горното уравнение, то ще получим 1. Математически можем да запишем θ(0) =1.

• Ако заместим t = -t в θ(t), то ще получим обратната на θ(t). Математически можем да запишем θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Също имаме друго важное свойство [θ(t)]n = θ(nt).