స్టేట్ స్పేస్ విశ్లేషణ ఏంటి?

స్టేట్ స్పేస్ విశ్లేషణ ఏంటి?

స్టేట్ స్పేస్ విశ్లేషణ నిర్వచనం

నియంత్రణ వ్యవస్థల స్టేట్ స్పేస్ విశ్లేషణ అనేది సామాన్యంగా మరియు సంక్లిష్టమైన వ్యవస్థలను సమయంలో వాటి విధానాన్ని వివరించడానికి వాడే మార్గం.

స్టేట్ స్పేస్ సమీకరణాలు

ఒక రేఖీయ మరియు సమయంలో స్థిరమైన వ్యవస్థకు స్టేట్ స్పేస్ సమీకరణాలను వివరిద్దాం.

మనం అనేక ఇన్‌పుట్‌లు మరియు అనేక ఆవర్ట్‌లు ఉన్న వ్యవస్థను భావించుకుందాం, ఇది r ఇన్‌పుట్‌లు మరియు m ఆవర్ట్‌లు ఉన్నది.

ఇక్కడ, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

మరియు m = y1, y2 ……….. ym.

ఇప్పుడు మనం ఇచ్చిన వ్యవస్థను వివరించడానికి n స్టేట్ వేరియబుల్‌లను తీసుకుంటున్నాం, కాబట్టి n = x1, x2, ……….. xn.

మరియు మనం ఇన్‌పుట్ మరియు ఆవర్ట్ వెక్టర్లను ఈ విధంగా నిర్వచిస్తాం,

ఇన్‌పుట్ వెక్టర్ల ట్రాన్స్‌పోజ్,

ఇక్కడ, T మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ట్రాన్స్‌పోజ్.

ఆవర్ట్ వెక్టర్ల ట్రాన్స్‌పోజ్,

ఇక్కడ, T మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ట్రాన్స్‌పోజ్.

స్టేట్ వెక్టర్ల ట్రాన్స్‌పోజ్,

ఇక్కడ, T మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ట్రాన్స్‌పోజ్.

ఈ వేరియబుల్స్ క్రింది సమీకరణాల ద్వారా సంబంధించబడతాయి, వీటిని స్టేట్ స్పేస్ సమీకరణాలు అంటారు

ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ ద్వారా స్టేట్ మోడల్ నిర్వచనం

డెకంపొజిషన్ : ఇది ఇచ్చిన ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ నుండి స్టేట్ మోడల్‌ని పొందడం. ఇప్పుడు మనం మూడు విధాలుగా ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్‌ను డెకంపొజ్ చేయవచ్చు:

• ప్రత్యక్ష డెకంపొజిషన్,

• కాస్కేడ్ లేదా శ్రేణి డెకంపొజిషన్,

• సమాంతర డెకంపొజిషన్.

పైన ఉన్న అన్ని డెకంపొజిషన్ విధానాలలో మనం ఇచ్చిన ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్‌ను డిఫరెన్షియల్ సమీకరణాలుగా మార్చుతాము, ఇవి డైనమిక్ సమీకరణాలు అని కూడా అంటారు. డిఫరెన్షియల్ సమీకరణాలుగా మార్చిన తర్వాత మనం పై సమీకరణానికి ఇన్వర్స్ లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ తీసుకుంటాము, తర్వాత డెకంపొజిషన్ రకాన్ని బట్టి మోడల్‌ని సృష్టించవచ్చు. మనం ఏదైనా రకమైన ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్‌ను స్టేట్ మోడల్‌లో వ్యక్తపరచవచ్చు. మనకు వివిధ రకాల మోడల్‌లు ఉన్నాయి, విద్యుత్ మోడల్, మెకానికల్ మోడల్ మొదలైనవి.

A, B, C మరియు D పదాలలో ట్రాన్స్‌ఫర్ మ్యాట్రిక్స్ వ్యక్తీకరణ. మనం ట్రాన్స్‌ఫర్ మ్యాట్రిక్స్‌ని ఇన్‌పుట్ యొక్క లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ నుండి ఆవర్ట్ యొక్క లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్‌ని నిర్వచిస్తాము.మళ్ళీ స్టేట్ సమీకరణాలను రాసి, ఇనిషియల్ కండిషన్‌లను సున్న గా భావించి లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ తీసుకుంటే మనకు

మనం ఈ సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా రాయవచ్చు

ఇక్కడ, I ఐడెంటిటీ మ్యాట్రిక్స్

ఇప్పుడు X(s) విలువను Y(s) సమీకరణంలో ప్రతిస్థాపించి, D = 0 (అంటే ఇది శూన్య మ్యాట్రిక్స్) అని ప్రతిస్థాపించినప్పుడు

మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఇన్వర్స్‌ను మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఆడ్జాక్ట్ విలువను మ్యాట్రిక్స్ యొక్క డెటర్మినాంట్‌తో భాగించి ప్రతిస్థాపించవచ్చు, ఇప్పుడు ఈ వ్యక్తీకరణను మళ్ళీ రాయవచ్చు

|sI-A| అనేది సంఖ్యాసమీకరణం అయితే దానిని సున్న గా సమానం చేయవచ్చు.

ఎయిజన్ విలువలు మరియు ఎయిజన్ వెక్టర్ల భావన

మనం ముందు వివరించిన సంఖ్యాసమీకరణం యొక్క మూలాలను ఎయిజన్ విలువలు లేదా A మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఎయిజన్ విలువలు అంటారు.ఇప్పుడు ఎయిజన్ విలువల యొక్క కొన్ని లక్షణాలు ఉన్నాయి, వీటిని క్రింది విధంగా రాయవచ్చు-

• ఏదైనా చతురస్ర మ్యాట్రిక్స్ A మరియు దాని ట్రాన్స్‌పోజ్ At యొక్క ఎయిజన్ విలువలు సమానం.

• ఏదైనా మ్యాట్రిక్స్ A యొక్క ఎయిజన్ విలువల మొత్తం A మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ట్రేస్‌కు సమానం.

• ఏదైనా మ్యాట్రిక్స్ A యొక్క ఎయిజన్ విలువల లబ్దం A మ్యాట్రిక్స్ యొక్క డెటర్మినాంట్‌కు సమానం.

• మనం మ్యాట్రిక్స్ A యొక్క ఒక స్కేలార్ విలువను గుణించినప్పుడు, ఎయిజన్ విలువలు కూడా అదే స్కేలార్ విలువతో గుణించబడతాయి.

• మనం ఇచ్చిన మ్యాట్రిక్స్ A యొక్క ఇన్వర్స్‌ను తీసినప్పుడు, దాని ఎయిజన్ విలువలు కూడా ఇన్వర్స్ అవుతాయి.

• మ్యాట్రిక్స్ యొక్క అన్ని ఘాతాంకాలు వాస్తవికంగా ఉన్నప్పుడు, అదికి సంబంధించిన ఎయిజన్ విలువలు వాస్తవికం లేదా సంకీర్ణ జతలు ఉంటాయి.

ఇక్కడ ఒక ఎయిజన్ విలువకు ఒక ఎయిజన్ వెక్టర్ ఉంటుంది, దాని కింది షరత్తును తీరుతుంది (ek × I – A)Pk = 0. ఇక్కడ, k = 1, 2, 3, ……..n.

స్టేట్ ట్ర