राज्य स्थान विश्लेषण क्या है

राज्य स्थान विश्लेषण क्या है?

राज्य स्थान विश्लेषण की परिभाषा

नियंत्रण प्रणालियों के राज्य स्थान विश्लेषण का उपयोग समय के साथ उनकी व्यवहार की विवरण करने के लिए चरों के एक सेट का उपयोग करके सरल और जटिल प्रणालियों दोनों का विश्लेषण करने का एक तरीका है।

राज्य स्थान समीकरण

Lीन और समय-निरपेक्ष प्रणाली के लिए राज्य स्थान समीकरण व्युत्पन्न करते हैं।

आइए एक ऐसी प्रणाली को ध्यान में रखें जिसमें r इनपुट और m आउटपुट हैं।

जहाँ, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

और m = y1, y2 ……….. ym.

अब हम n राज्य चरों को दी गई प्रणाली का वर्णन करने के लिए ले रहे हैं, इसलिए n = x1, x2, ……….. xn.

अब हम इनपुट और आउटपुट वेक्टरों को इस प्रकार परिभाषित करते हैं,

इनपुट वेक्टरों का ट्रांसपोज,

जहाँ, T मैट्रिक्स का ट्रांसपोज है।

आउटपुट वेक्टरों का ट्रांसपोज,

जहाँ, T मैट्रिक्स का ट्रांसपोज है।

राज्य वेक्टरों का ट्रांसपोज,

जहाँ, T मैट्रिक्स का ट्रांसपोज है।

ये चर नीचे लिखे गए समीकरणों से संबद्ध होते हैं, जो राज्य स्थान समीकरण के रूप में जाने जाते हैं

स्थानांतरण फ़ंक्शन का उपयोग करके राज्य मॉडल का प्रतिनिधित्व

डिकंपोजिशन : यह दिए गए स्थानांतरण फ़ंक्शन से राज्य मॉडल प्राप्त करने की प्रक्रिया के रूप में परिभाषित है। अब हम तीन अलग-अलग तरीकों से स्थानांतरण फ़ंक्शन को डिकंपोज कर सकते हैं:

• सीधा डिकंपोजिशन,

• कैस्केड या श्रृंखला डिकंपोजिशन,

• समानांतर डिकंपोजिशन।

उपरोक्त सभी डिकंपोजिशन तरीकों में, हम पहले दिए गए स्थानांतरण फ़ंक्शन को डिफ़ेरेंशियल समीकरणों में परिवर्तित करते हैं, जो डायनेमिक समीकरणों के रूप में भी जाने जाते हैं। डिफ़ेरेंशियल समीकरणों में परिवर्तित करने के बाद, हम उपरोक्त समीकरण का इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म लेते हैं, फिर डिकंपोजिशन के प्रकार के अनुसार मॉडल बनाते हैं। हम किसी भी प्रकार के स्थानांतरण फ़ंक्शन को राज्य मॉडल में प्रदर्शित कर सकते हैं। इलेक्ट्रिकल मॉडल, मेकानिकल मॉडल आदि जैसे विभिन्न प्रकार के मॉडल होते हैं।

A, B, C और D के रूप में ट्रांसफर मैट्रिक्स का व्यक्त करना। हम ट्रांसफर मैट्रिक्स को इनपुट के लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म से आउटपुट के लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म के अनुपात के रूप में परिभाषित करते हैं।राज्य समीकरणों को फिर से लिखकर और दोनों राज्य समीकरणों (शुरुआती स्थितियों को शून्य मानते हुए) का लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म लेने पर हमारे पास

हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं

जहाँ, I एक इडेंटिटी मैट्रिक्स है

अब X(s) का मान समीकरण Y(s) में रखकर और D = 0 (शून्य मैट्रिक्स) मानते हुए हमारे पास

मैट्रिक्स का इन्वर्स उसके निर्धारक द्वारा विभाजित आद्ज ऑफ मैट्रिक्स से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, अब व्यंजक को फिर से लिखकर हमारे पास

|sI-A| जब शून्य के बराबर रखा जाता है, तो इसे विशेष रूप से विशेष समीकरण के रूप में जाना जाता है।

आइगन मूल्य और आइगन वेक्टर की अवधारणा

ऊपर वर्णित विशेष समीकरण के मूल, जिन्हें आइगन मूल्य या मैट्रिक्स A के आइगन मूल्य के रूप में जाना जाता है।अब आइगन मूल्यों से संबंधित कुछ गुण हैं और ये गुण नीचे लिखे गए हैं-

• किसी भी वर्ग मैट्रिक्स A और इसके ट्रांसपोज At के समान आइगन मूल्य होते हैं।

• किसी भी मैट्रिक्स A के आइगन मूल्यों का योग मैट्रिक्स A के ट्रेस के बराबर होता है।

• किसी भी मैट्रिक्स A के आइगन मूल्यों का गुणनफल मैट्रिक्स A के निर्धारक के बराबर होता है।

• यदि हम किसी स्केलर मात्रा को मैट्रिक्स A से गुणा करते हैं, तो आइगन मूल्य भी स्केलर के समान मान से गुणा हो जाते हैं।

• यदि हम दी गई मैट्रिक्स A का इन्वर्स लेते हैं, तो उसके आइगन मूल्य भी इन्वर्स हो जाते हैं।

• यदि मैट्रिक्स के सभी तत्व वास्तविक हैं, तो उसके आइगन मूल्य या तो वास्तविक होंगे या सम्मिश्र संयुग्मी युग्म में विद्यमान होंगे।

अब प्रत्येक आइगन मूल्य के लिए एक आइगन वेक्टर मौजूद होता है, यदि यह निम्न शर्त को संतुष्ट करता है (ek × I – A)Pk = 0। जहाँ, k = 1, 2, 3, ……..n।

राज्य स्थानांतरण मैट्रिक्स और शून्य राज्य प्रतिक्रिया

हम यहाँ राज्य स्थानांतरण मैट्रिक्स और शून्य राज्य प्रतिक्रिया के व्यंजकों को व्युत्पन्न करने में रुचि रखते हैं। फिर से ऊपर व्युत्पन्न किए गए राज्य समीकरणों को लेकर और उनका लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म लेने पर हमारे पास,

अब उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखकर हमारे पास

[sI-A] -1 = θ(s) मानते हुए और उपरोक्त समीकरण का इन्वर्स लाप्लास लेने पर हमारे पास

व्यंजक θ(t) को राज्य स्थानांतरण मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है।

L-1.θ(t)BU(s) = शून्य राज्य प्रतिक्रिया।

अब आइए राज्य स्थानांतरण मैट्रिक्स के कुछ गुणों पर चर्चा करें।

• यदि हम उपरोक्त समीकरण में t = 0 रखते हैं, तो हम 1 प्राप्त करेंगे। गणितीय रूप से हम लिख सकते हैं θ(0) =1।

• यदि हम θ(t) में t = -t रखते हैं, तो हम θ(t) का इन्वर्स प्राप्त करेंगे। गणितीय रूप से हम लिख सकते हैं θ(-t) = [θ(t)]-1।

• हम एक अन्य महत्वपूर्ण गुण [θ(t)]n = θ(nt) भी जानते हैं।