¿Qué es el Análisis del Espacio de Estados?

¿Qué es el Análisis del Espacio de Estados?

Definición del Análisis del Espacio de Estados

El análisis del espacio de estados de sistemas de control es un método para analizar tanto sistemas simples como complejos utilizando un conjunto de variables para describir su comportamiento a lo largo del tiempo.

Ecuaciones del Espacio de Estados

Derivemos las ecuaciones del espacio de estados para un sistema que es lineal e invariante en el tiempo.

Consideremos un sistema con múltiples entradas y múltiples salidas que tiene r entradas y m salidas.

Donde, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Y m = y1, y2 ……….. ym.

Ahora estamos tomando n variables de estado para describir el sistema dado, por lo tanto, n = x1, x2, ……….. xn.

También definimos los vectores de entrada y salida como,

Transpuesta de los vectores de entrada,

Donde, T es la transpuesta de la matriz.

Transpuesta de los vectores de salida,

Donde, T es la transpuesta de la matriz.

Transpuesta de los vectores de estado,

Donde, T es la transpuesta de la matriz.

Estas variables están relacionadas por un conjunto de ecuaciones que se escriben a continuación y son conocidas como ecuaciones del espacio de estados

Representación del Modelo de Estado usando Función de Transferencia

Descomposición : Se define como el proceso de obtener el modelo de estado a partir de la función de transferencia dada. Ahora podemos descomponer la función de transferencia de tres maneras diferentes:

• Descomposición directa,

• Descomposición en cascada o serie,

• Descomposición paralela.

En todos los métodos de descomposición anteriores, primero convertimos la función de transferencia dada en ecuaciones diferenciales, también llamadas ecuaciones dinámicas. Después de convertirlas en ecuaciones diferenciales, tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior, luego, según el tipo de descomposición, podemos crear el modelo. Podemos representar cualquier tipo de función de transferencia en un modelo de estado. Tenemos varios tipos de modelos, como modelos eléctricos, mecánicos, etc.

Expresión de la Matriz de Transferencia en términos de A, B, C y D. Definimos la matriz de transferencia como la transformada de Laplace de la salida a la transformada de Laplace de la entrada.Al escribir de nuevo las ecuaciones de estado y tomar la transformada de Laplace de ambas ecuaciones (asumiendo condiciones iniciales iguales a cero), tenemos

Podemos escribir la ecuación como

Donde, I es una matriz identidad

Ahora, sustituyendo el valor de X(s) en la ecuación Y(s) y poniendo D = 0 (es decir, una matriz nula), tenemos

La inversa de la matriz se puede sustituir por el adjunto de la matriz dividido por el determinante de la matriz, ahora al reescribir la expresión, tenemos

|sI-A| también se conoce como ecuación característica cuando se iguala a cero.

Concepto de Valores Propios y Vectores Propios

Las raíces de la ecuación característica que hemos descrito arriba se conocen como valores propios o autovalores de la matriz A.Ahora hay algunas propiedades relacionadas con los valores propios y estas propiedades se escriben a continuación:

• Cualquier matriz cuadrada A y su transpuesta At tienen los mismos valores propios.

• La suma de los valores propios de cualquier matriz A es igual a la traza de la matriz A.

• El producto de los valores propios de cualquier matriz A es igual al determinante de la matriz A.

• Si multiplicamos una cantidad escalar a la matriz A, entonces los valores propios también se multiplican por el mismo valor escalar.

• Si invertimos la matriz A dada, entonces sus valores propios también se invierten.

• Si todos los elementos de la matriz son reales, entonces los valores propios correspondientes a esa matriz son ya sea reales o existen en pares conjugados complejos.

Ahora existe un vector propio correspondiente a un valor propio, si satisface la siguiente condición (ek × I – A)Pk = 0. Donde, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matriz de Transición de Estado y Respuesta de Estado Cero

Aquí estamos interesados en derivar las expresiones para la matriz de transición de estado y la respuesta de estado cero. Nuevamente, tomando las ecuaciones de estado que hemos derivado anteriormente y tomando su transformada de Laplace, tenemos,

Ahora, reescribiendo la ecuación anterior, tenemos

Sea [sI-A] -1 = θ(s) y tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior, tenemos

La expresión θ(t) se conoce como matriz de transición de estado.

L-1.θ(t)BU(s) = respuesta de estado cero.

Ahora, discutamos algunas de las propiedades de la matriz de transición de estado.

• Si sustituimos t = 0 en la ecuación anterior, obtendremos 1. Matemáticamente, podemos escribir θ(0) =1.

• Si sustituimos t = -t en θ(t), obtendremos la inversa de θ(t). Matemáticamente, podemos escribir θ(-t) = [θ(t)]-1.

• También tenemos otra propiedad importante [θ(t)]n = θ(nt).