State Space Analysis කුමක්ද?

State Space Analysis කුමක්ද?

State Space Analysis යනු

කැලිබරේෂන් සිස්තමයන්හි state space analysis යනු ප්‍රකාශ කිරීමට යොදාගෙන ඇති විචල්ය රාශි මාලාවක් භාවිතා කිරීමෙන් සාමාන්‍ය හා සංකීර්ණ සිස්තමයන්හි කාලය තුළ ආරෝපීත උපාධිය පිළිබඳව විශ්ලේෂණය කිරීමේ ක්‍රමයකි.

State Space Equations

Linear සහ time invariant වන සිස්තමයක state space equations ලබා දෙමු.

r inputs සහ m outputs ඇති multiple inputs සහ multiple outputs සිස්තමයක් සැලකිමු.

එක් එක් r = u1, u2, u3 ……….. ur.

මහි m = y1, y2 ……….. ym.

දැන් n state variables භාවිතා කිරීමෙන් පැහැදිලි කළ සිස්තමය සැලකිමු නිසා n = x1, x2, ……….. xn.

අපි input සහ output vectors ලෙස පහත පරිදි නිරූපණය කළේය,

input vectors හි transpose,

මහි T යනු matrix හි transpose යි.

output vectors හි transpose,

මහි T යනු matrix හි transpose යි.

state vectors හි transpose,

මහි T යනු matrix හි transpose යි.

මෙම විචල්ය රාශි සැලකිය යුතු සමීකරණ මාලාවකින් බැඳුනු පරිදි පහත ලෙස ලියන හැකිය. මෙය state space equations ලෙස හැඳින්වේ.

Transfer Function භාවිතා කිරීමෙන් State Model නිරූපණය

Decomposition : මෙය ලබා දී ඇති transfer function සිස්තමයක් සැලකිය යුතු state model ලබා දෙන ක්‍රමයකි. නිදහස් decompose කිරීමේ ක්‍රම තුනක් ඇත:

• Direct decomposition,

• Cascade or series decomposition,

• Parallel decomposition.

මෙම සියලු decompositions නිදහස් ක්‍රමවලදී අපි ලබා දී ඇති transfer function ට අනුව differential equations ලෙස පරිවර්තනය කළ යුතුය. එය dynamic equations ලෙස හැඳින්වේ. එය පසු Laplace transform ලෙස පරිවර්තනය කළ පසු අපි පිළිවෙලින් decompose කිරීමේ ක්‍රමයට අනුව model එකක් සාදන්නේය. අපි කිසිවක් transfer function එකක් state model එකක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය. අපිට electrical model, mechanical model වැනි විවිධ model ගැනීමට හැකිය.

A, B, C සහ D පිළිබඳව Transfer Matrix නිරූපණය. අපි transfer matrix ලෙස output හි Laplace transform එක input හි Laplace transform එකට ලෙස නිරූපණය කළ යුතුය.state equations එක පැවැත්වීමට යොදාගෙන අපි Laplace transform එකක් ලබා දෙන්නේ (initial conditions zero බව අනුමානය කිරීමෙන්) පහත පරිදියි.

අපි මෙය පහත පරිදි ලියන්නේය

මහි I යනු identity matrix යි.

දැන් X(s) එක Y(s) එකේ අගය ආදේශ කිරීමෙන් සහ D = 0 (මෙය null matrix යි) බවට පත් කිරීමෙන් අපි පහත පරිදි ලියන්නේය.

matrix හි inverse එක ලබා දෙන්නේ matrix හි adjoint එක determinant එකට බෙදීමෙන් යැයි අපි පහත පරිදි ලියන්නේය.

|sI-A| යනු characteristic equation යි. එය සුළු කිරීමෙන් ලැබෙන්නේ zero යි.

Eigen Values සහ Eigen Vectors හි සංකල්පය

මෙත්ම අපි ඉහත පිළිබඳව දැක්වූ characteristic equation එකේ roots යනු eigen values හෝ A matrix එකේ eigen values යි.දැන් eigen values පිළිබඳව පහත පරිදි පිළිබඳ ගැටලු ඇත.

• කෙසේ වෙතත් square matrix A සහ එහි transpose At යනු එකම eigen values ඇත.

• මුළු matrix A එකේ eigen values එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක් එක්......