Apa itu Analisis Ruang Keadaan

Apa itu Analisis Ruang Keadaan?

Definisi Analisis Ruang Keadaan

Analisis ruang keadaan sistem kendali adalah metode untuk menganalisis sistem sederhana maupun kompleks dengan menggunakan set variabel untuk menggambarkan perilaku mereka sepanjang waktu.

Persamaan Ruang Keadaan

Mari kita turunkan persamaan ruang keadaan untuk sistem yang linier dan tidak berubah terhadap waktu.

Mari kita pertimbangkan sistem dengan beberapa masukan dan beberapa keluaran yang memiliki r masukan dan m keluaran.

Di mana, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Dan m = y1, y2 ……….. ym.

Sekarang kita mengambil n variabel keadaan untuk menggambarkan sistem yang diberikan, sehingga n = x1, x2, ……….. xn.

Kami juga mendefinisikan vektor masukan dan keluaran sebagai,

Transpose dari vektor masukan,

Di mana, T adalah transpose dari matriks.

Transpose dari vektor keluaran,

Di mana, T adalah transpose dari matriks.

Transpose dari vektor keadaan,

Di mana, T adalah transpose dari matriks.

Variabel-variabel ini dihubungkan oleh serangkaian persamaan yang ditulis di bawah ini dan dikenal sebagai persamaan ruang keadaan

Representasi Model Keadaan Menggunakan Fungsi Transfer

Dekomposisi : Didefinisikan sebagai proses memperoleh model keadaan dari fungsi transfer yang diberikan. Kita dapat mendekomposisi fungsi transfer dengan tiga cara berbeda:

• Dekomposisi langsung,

• Dekomposisi kaskade atau seri,

• Dekomposisi paralel.

Dalam semua metode dekomposisi di atas, kita pertama-tama mengonversi fungsi transfer yang diberikan menjadi persamaan diferensial yang juga disebut persamaan dinamis. Setelah dikonversi menjadi persamaan diferensial, kita akan mengambil transformasi Laplace invers dari persamaan tersebut, kemudian sesuai dengan jenis dekomposisi, kita dapat membuat model. Kita dapat merepresentasikan jenis fungsi transfer apa pun dalam model keadaan. Kami memiliki berbagai jenis model seperti model listrik, model mekanik, dll.

Ekspresi Matriks Transfer dalam hal A, B, C, dan D. Kami mendefinisikan matriks transfer sebagai transformasi Laplace dari keluaran ke transformasi Laplace dari masukan.Dengan menulis ulang persamaan keadaan dan mengambil transformasi Laplace dari kedua persamaan keadaan (dengan asumsi kondisi awal sama dengan nol) kita memiliki

Kita dapat menulis persamaan sebagai

Di mana, I adalah matriks identitas

Sekarang dengan mensubstitusikan nilai X(s) dalam persamaan Y(s) dan memasukkan D = 0 (berarti matriks nol) kita memiliki

Invers matriks dapat digantikan oleh adj dari matriks dibagi dengan determinan matriks, sekarang dengan menulis ulang ekspresi kita memiliki

|sI-A| juga dikenal sebagai persamaan karakteristik ketika disetarakan dengan nol.

Konsep Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Akar dari persamaan karakteristik yang telah kita jelaskan di atas dikenal sebagai nilai eigen atau nilai eigen matriks A.Sekarang ada beberapa sifat yang terkait dengan nilai eigen dan sifat-sifat ini ditulis di bawah ini-

• Setiap matriks persegi A dan transposenya At memiliki nilai eigen yang sama.

• Jumlah nilai eigen dari matriks A manapun sama dengan trace dari matriks A.

• Produk dari nilai eigen dari matriks A manapun sama dengan determinan dari matriks A.

• Jika kita mengalikan skalar kuantitas ke matriks A maka nilai eigen juga dikalikan dengan nilai skalar yang sama.

• Jika kita menginvers matriks A yang diberikan maka nilai eigennya juga diinvers.

• Jika semua elemen matriks real maka nilai eigen yang berkorespondensi dengan matriks tersebut adalah real atau ada dalam pasangan konjugat kompleks.

Sekarang ada satu vektor eigen yang berkorespondensi dengan satu nilai eigen, jika memenuhi kondisi berikut (ek × I – A)Pk = 0. Di mana, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matriks Transisi Keadaan dan Respon Nol Keadaan

Kami di sini tertarik untuk menurunkan ekspresi untuk matriks transisi keadaan dan respon nol keadaan. Lagi-lagi mengambil persamaan keadaan yang telah kita turunkan di atas dan mengambil transformasi Laplace mereka kita memiliki,

Sekarang dengan menulis ulang persamaan di atas kita memiliki

Misalkan [sI-A] -1 = θ(s) dan mengambil transformasi Laplace invers dari persamaan di atas kita memiliki

Ekspresi θ(t) dikenal sebagai matriks transisi keadaan.

L-1.θ(t)BU(s) = respon nol keadaan.

Sekarang mari kita bahas beberapa sifat dari matriks transisi keadaan.

• Jika kita mensubstitusi t = 0 dalam persamaan di atas maka kita akan mendapatkan 1. Secara matematis kita bisa menulis θ(0) =1.

• Jika kita mensubstitusi t = -t dalam θ(t) maka kita akan mendapatkan invers dari θ(t). Secara matematis kita bisa menulis θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Kami juga memiliki sifat penting lainnya [θ(t)]n = θ(nt).