Mi az állapotterelemzés?

Mi az állapotterelemzés?

Az állapotterelemzés definíciója

Az irányítási rendszerek állapotterelemzése olyan módszer, amely egyszerű és összetett rendszerek elemzésére használható egy adott változók halmazával, amelyek leírják a viselkedésüket időben.

Állapottér-egyenletek

Lejátszunk állapottér-egyenleteket egy lineáris és időinvariáns rendszer számára.

Vegyünk figyelembe egy több bemenetből és több kimenetből álló rendszert, amelynek r bemenete és m kimenete van.

Ahol, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

És m = y1, y2 ……….. ym.

Most n állapotváltozót veszünk figyelembe a rendszer leírásához, tehát n = x1, x2, ……….. xn.

Definiáljuk a bemeneti és kimeneti vektorokat, mint

A bemeneti vektorok transzponáltja,

Ahol, T a mátrix transzponáltja.

A kimeneti vektorok transzponáltja,

Ahol, T a mátrix transzponáltja.

Az állapotvektorok transzponáltja,

Ahol, T a mátrix transzponáltja.

Ezek a változók egyenletrendszerrel vannak összekapcsolva, amelyek az alábbiakban vannak megfogalmazva, és amelyeket állapottér-egyenleteknek nevezünk.

Állapottér-modell ábrázolása átviteli függvénnyel

Széttagolás: Ezt a folyamatot úgy definiáljuk, hogy az állapottér-modellt a megadott átviteli függvényből származtatjuk. Most három különböző módon bonthatjuk fel az átviteli függvényt:

• Közvetlen széttagolás,

• Kaszkád vagy soros széttagolás,

• Párhuzamos széttagolás.

Minden fenti széttagolási módszer esetén először konvertáljuk a megadott átviteli függvényt differenciálegyenletekké, amelyeket dinamikai egyenleteknek is nevezünk. A differenciálegyenletek után vissza Laplace-transzformáltját vesszük, majd a széttagolási típusnak megfelelően létrehozunk modellt. Bármilyen típusú átviteli függvényt állapottér-modellben ábrázolhatunk. Különböző típusú modellek vannak, mint például elektromos modellek, mechanikai modellek stb.

Az átviteli mátrix kifejezése A, B, C és D segítségével. Az átviteli mátrixot a kimenet Laplace-transzformáltjának és a bemenet Laplace-transzformáltjának arányaként definiáljuk.Ha ismét írjuk le az állapottér-egyenleteket, és Laplace-transzformáltjuk mindkét állapottér-egyenletet (feltételezve, hogy a kezdeti feltételek nulla), akkor kapjuk

Az egyenletet a következőképpen írhatjuk le

Ahol, I az egységmátrix

Most behelyettesítve X(s) értékét Y(s)-be, és beállítva D = 0 (azaz nullmátrix), kapjuk

A mátrix inverzét a mátrix adjungáltjának és determinánsának osztásával helyettesíthetjük, most átírva a kifejezést kapjuk

|sI-A| ismert karakterisztikus egyenlet, amikor nullával egyenlő.

Sajátértékek és sajátvektorok fogalma

A fent említett karakterisztikus egyenlet gyökei, amelyeket sajátértékeknek vagy A mátrix sajátértékeinek nevezünk.Most van néhány tulajdonság, ami a sajátértékekkel kapcsolatos, és ezek a tulajdonságok a következők:

• Bármely négyzetes A mátrix és annak transzponáltja At ugyanazokat a sajátértékeket tartalmazza.

• Bármely A mátrix sajátértékeinek összege megegyezik a mátrix nyomával.

• Bármely A mátrix sajátértékeinek szorzata megegyezik a mátrix determinánsával.

• Ha egy skalár mennyiséget szorozunk A mátrixszal, akkor a sajátértékek is megszorozódnak ugyanazzal a skalárral.

• Ha inverzre vesszük A mátrixot, akkor a sajátértékei is inverzre kerülnek.

• Ha a mátrix minden eleme valós, akkor a hozzá tartozó sajátértékek vagy valósak, vagy komplex konjugált párokban léteznek.

Egy sajátértékhez egy sajátvektor tartozik, ha kielégíti a következő feltételt (ek × I – A)Pk = 0. Ahol, k = 1, 2, 3, ……..n.

Állapotátmeneti mátrix és zérus-állapot válasz

Örökéremi célunk az állapotátmeneti mátrix és a zérus-állapot válasz kifejezéseinek levezetése. Ismét az állapottér-egyenleteket veszünk figyelembe, és Laplace-transzformáltjuk, kapjuk

Most ismét átírva az egyenletet kapjuk

Legyen [sI-A] -1 = θ(s) és vegyük a fenti egyenlet vissza Laplace-transzformáltját, akkor kapjuk

A θ(t) kifejezést állapotátmeneti mátrixnak nevezzük.

L-1.θ(t)BU(s) = zérus-állapot válasz.

Most beszéljünk néhány állapotátmeneti mátrix tulajdonságáról.

• Ha behelyettesítünk t = 0 a fenti egyenletbe, akkor 1-et kapunk. Matematikailag írhatjuk, hogy θ(0) =1.

• Ha behelyettesítünk t = -t a θ(t)-be, akkor a θ(t) inverzét kapjuk. Matematikailag írhatjuk, hogy θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Van egy másik fontos tulajdonság, [θ(t)]n = θ(nt).