Mi az állapotterelemzés?
Mi az állapotterelemzés?
Az állapotterelemzés definíciója
Az irányítási rendszerek állapotterelemzése olyan módszer, amely egyszerű és összetett rendszerek elemzésére használható egy adott változók halmazával, amelyek leírják a viselkedésüket időben.
Állapottér-egyenletek
Lejátszunk állapottér-egyenleteket egy lineáris és időinvariáns rendszer számára.
Vegyünk figyelembe egy több bemenetből és több kimenetből álló rendszert, amelynek r bemenete és m kimenete van.
Ahol, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
És m = y1, y2 ……….. ym.
Most n állapotváltozót veszünk figyelembe a rendszer leírásához, tehát n = x1, x2, ……….. xn.
Definiáljuk a bemeneti és kimeneti vektorokat, mint
A bemeneti vektorok transzponáltja,
Ahol, T a mátrix transzponáltja.
A kimeneti vektorok transzponáltja,
Ahol, T a mátrix transzponáltja.
Az állapotvektorok transzponáltja,
Ahol, T a mátrix transzponáltja.
Ezek a változók egyenletrendszerrel vannak összekapcsolva, amelyek az alábbiakban vannak megfogalmazva, és amelyeket állapottér-egyenleteknek nevezünk.
Állapottér-modell ábrázolása átviteli függvénnyel
Széttagolás: Ezt a folyamatot úgy definiáljuk, hogy az állapottér-modellt a megadott átviteli függvényből származtatjuk. Most három különböző módon bonthatjuk fel az átviteli függvényt:
Közvetlen széttagolás,
Kaszkád vagy soros széttagolás,
Párhuzamos széttagolás.
Minden fenti széttagolási módszer esetén először konvertáljuk a megadott átviteli függvényt differenciálegyenletekké, amelyeket dinamikai egyenleteknek is nevezünk. A differenciálegyenletek után vissza Laplace-transzformáltját vesszük, majd a széttagolási típusnak megfelelően létrehozunk modellt. Bármilyen típusú átviteli függvényt állapottér-modellben ábrázolhatunk. Különböző típusú modellek vannak, mint például elektromos modellek, mechanikai modellek stb.
Az átviteli mátrix kifejezése A, B, C és D segítségével. Az átviteli mátrixot a kimenet Laplace-transzformáltjának és a bemenet Laplace-transzformáltjának arányaként definiáljuk.Ha ismét írjuk le az állapottér-egyenleteket, és Laplace-transzformáltjuk mindkét állapottér-egyenletet (feltételezve, hogy a kezdeti feltételek nulla), akkor kapjuk
Az egyenletet a következőképpen írhatjuk le
Ahol, I az egységmátrix
Most behelyettesítve X(s) értékét Y(s)-be, és beállítva D = 0 (azaz nullmátrix), kapjuk
A mátrix inverzét a mátrix adjungáltjának és determinánsának osztásával helyettesíthetjük, most átírva a kifejezést kapjuk
|sI-A| ismert karakterisztikus egyenlet, amikor nullával egyenlő.
Sajátértékek és sajátvektorok fogalma
A fent említett karakterisztikus egyenlet gyökei, amelyeket sajátértékeknek vagy A mátrix sajátértékeinek nevezünk.Most van néhány tulajdonság, ami a sajátértékekkel kapcsolatos, és ezek a tulajdonságok a következők:
Bármely négyzetes A mátrix és annak transzponáltja At ugyanazokat a sajátértékeket tartalmazza.
Bármely A mátrix sajátértékeinek összege megegyezik a mátrix nyomával.
Bármely A mátrix sajátértékeinek szorzata megegyezik a mátrix determinánsával.
Ha egy skalár mennyiséget szorozunk A mátrixszal, akkor a sajátértékek is megszorozódnak ugyanazzal a skalárral.
Ha inverzre vesszük A mátrixot, akkor a sajátértékei is inverzre kerülnek.
Ha a mátrix minden eleme valós, akkor a hozzá tartozó sajátértékek vagy valósak, vagy komplex konjugált párokban léteznek.
Egy sajátértékhez egy sajátvektor tartozik, ha kielégíti a következő feltételt (ek × I – A)Pk = 0. Ahol, k = 1, 2, 3, ……..n.
Állapotátmeneti mátrix és zérus-állapot válasz
Örökéremi célunk az állapotátmeneti mátrix és a zérus-állapot válasz kifejezéseinek levezetése. Ismét az állapottér-egyenleteket veszünk figyelembe, és Laplace-transzformáltjuk, kapjuk
Most ismét átírva az egyenletet kapjuk
Legyen [sI-A] -1 = θ(s) és vegyük a fenti egyenlet vissza Laplace-transzformáltját, akkor kapjuk
A θ(t) kifejezést állapotátmeneti mátrixnak nevezzük.
L-1.θ(t)BU(s) = zérus-állapot válasz.
Most beszéljünk néhány állapotátmeneti mátrix tulajdonságáról.
Ha behelyettesítünk t = 0 a fenti egyenletbe, akkor 1-et kapunk. Matematikailag írhatjuk, hogy θ(0) =1.
Ha behelyettesítünk t = -t a θ(t)-be, akkor a θ(t) inverzét kapjuk. Matematikailag írhatjuk, hogy θ(-t) = [θ(t)]-1.
Van egy másik fontos tulajdonság, [θ(t)]n = θ(nt).
