ما هو تحليل الفضاء الحالة؟
ما هو تحليل الفضاء الحالة؟
تعريف تحليل الفضاء الحالة
تحليل الفضاء الحالة لأنظمة التحكم هو طريقة لتحليل الأنظمة البسيطة والمعقدة باستخدام مجموعة من المتغيرات لوصف سلوكها بمرور الوقت.
معادلات الفضاء الحالة
دعونا نشتق معادلات الفضاء الحالة للنظام الذي يكون خطيًا وغير متغير بمرور الوقت.
لنفترض نظامًا له عدة مدخلات ومخرجات، حيث يوجد r مدخل وm مخرج.
حيث، r = u1, u2, u3 ……….. ur.
و m = y1, y2 ……….. ym.
الآن نحن نأخذ n متغيرات حالة لوصف النظام المعطى، وبالتالي n = x1, x2, ……….. xn.
كما نحدد متجهات المدخل والمخرج كما يلي،
المتجهات المدخلة المحولة،
حيث، T هي تحويل المصفوفة.
المتجهات المخرجة المحولة،
حيث، T هي تحويل المصفوفة.
المتجهات الحالة المحولة،
حيث، T هي تحويل المصفوفة.
تربط هذه المتغيرات بمجموعة من المعادلات التي تُكتب أدناه وتُعرف باسم معادلات الفضاء الحالة.
تمثيل النموذج الحالة باستخدام دالة التحويل
التقطيع : يتم تعريفه بأنه العملية المستخدمة للحصول على النموذج الحالة من دالة التحويل المعطاة. يمكننا الآن تقطيع دالة التحويل باستخدام ثلاث طرق مختلفة:
التقطيع المباشر،
التقطيع المتسلسل أو التتابعي،
التقطيع الموازي.
في جميع الطرق أعلاه للتقطيع، نقوم أولاً بتحويل دالة التحويل المعطاة إلى المعادلات التفاضلية والتي تُسمى أيضًا بالمعادلات الديناميكية. بعد تحويلها إلى المعادلات التفاضلية، نأخذ تحويل لابلاس العكسي للمعادلة السابقة ثم ننشئ النموذج بناءً على نوع التقطيع. يمكننا تمثيل أي نوع من دوال التحويل في النموذج الحالة. لدينا أنواع مختلفة من النماذج مثل النموذج الكهربائي والنموذج الميكانيكي وغيرها.
تعبير عن مصفوفة التحويل بدلالة A و B و C و D. نحدد مصفوفة التحويل كتحويل لابلاس للمخرج إلى تحويل لابلاس للمدخل.عند كتابة معادلات الحالة مرة أخرى واتخاذ تحويل لابلاس لكلا معادلة الحالة (بافتراض أن الشروط الأولية تساوي الصفر) نحصل على
يمكننا كتابة المعادلة كـ
حيث، I هي مصفوفة الوحدة
الآن عند استبدال قيمة X(s) في المعادلة Y(s) ووضع D = 0 (يعني أنها مصفوفة فارغة) نحصل على
يمكن استبدال عكس المصفوفة بواسطة القاعدة المصاحبة للمصفوفة مقسومة على المحدد للمصفوفة، الآن عند إعادة كتابة التعبير نحصل على
|sI-A| يعرف أيضًا باسم المعادلة المميزة عندما يساوي الصفر.
مفهوم القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
جذور المعادلة المميزة التي قمنا بوصفها أعلاه تُعرف باسم القيم الذاتية أو القيم الذاتية لمصفوفة A.الآن هناك بعض الخصائص المتعلقة بالقيم الذاتية وهذه الخصائص مكتوبة أدناه-
أي مصفوفة مربعة A وتحويلها At لها نفس القيم الذاتية.
مجموع القيم الذاتية لأي مصفوفة A يساوي الأثر للمصفوفة A.
حاصل ضرب القيم الذاتية لأي مصفوفة A يساوي المحدد للمصفوفة A.
إذا ضربنا كمية قياسية في مصفوفة A فإن القيم الذاتية تتضاعف بنفس قيمة القياس.
إذا عكسنا المصفوفة المعطاة A فإن القيم الذاتية لها أيضًا تعكس.
إذا كانت جميع عناصر المصفوفة حقيقية فإن القيم الذاتية المقابلة لتلك المصفوفة تكون إما حقيقية أو موجودة في أزواج مرافقة معقدة.
يوجد متجه ذاتي واحد متوافق مع قيمة ذاتية واحدة، إذا رضيت الشرط التالي (ek × I – A)Pk = 0. حيث، k = 1, 2, 3, ……..n.
مصفوفة انتقال الحالة والاستجابة عند الحالة الصفرية
نحن هنا مهتمون باشتقاق التعبيرات لمصفوفة انتقال الحالة والاستجابة عند الحالة الصفرية. مرة أخرى نأخذ معادلات الحالة التي قمنا باشتقاقها أعلاه ونأخذ تحويل لابلاس لها نحصل على،
الآن عند إعادة كتابة المعادلة نحصل على
دع [sI-A] -1 = θ(s) وعند أخذ تحويل لابلاس العكسي للمعادلة نحصل على
التعبير θ(t) يعرف بمصفوفة انتقال الحالة.
L-1.θ(t)BU(s) = الاستجابة عند الحالة الصفرية.
الآن دعونا نناقش بعض خصائص مصفوفة انتقال الحالة.
إذا قمنا باستبدال t = 0 في المعادلة أعلاه فسنحصل على 1. رياضياً يمكننا كتابة θ(0) =1.
إذا قمنا باستبدال t = -t في θ(t) فسنحصل على عكس θ(t). رياضياً يمكننا كتابة θ(-t) = [θ(t)]-1.
لدينا أيضًا خاصية مهمة أخرى [θ(t)]n = θ(nt).
