Šta je analiza stanja?

Šta je analiza stanja?

Definicija analize stanja

Analiza stanja sistema upravljanja je metoda za analizu i jednostavnih i složenih sistema korišćenjem skupa promenljivih kako bi se opisalo njihovo ponašanje tokom vremena.

Jednačine stanja

Izvedimo jednačine stanja za sistem koji je linearan i invarijantan u vremenu.

Razmotrimo sistem sa više ulaza i više izlaza koji ima r ulaza i m izlaza.

Gde, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

A m = y1, y2 ……….. ym.

Sada uzimamo n promenljivih stanja da opišemo dati sistem, stoga n = x1, x2, ……….. xn.

Takođe definišemo vektore ulaza i izlaza kao,

Transponovani vektori ulaza,

Gde, T predstavlja transpoziciju matrice.

Transponovani vektori izlaza,

Gde, T predstavlja transpoziciju matrice.

Transponovani vektori stanja,

Gde, T predstavlja transpoziciju matrice.

Ove promenljive su povezane skupom jednačina koje su napisane ispod i poznate kao jednačine stanja.

Reprezentacija modela stanja koristeći funkciju prenosa

Dekompozicija : Definisana je kao proces dobijanja modela stanja iz date funkcije prenosa. Sada možemo dekomponovati funkciju prenosa na tri različita načina:

• Direktna dekompozicija,

• Kaskadna ili serijalna dekompozicija,

• Paralelna dekompozicija.

U svim gore navedenim metodama dekompozicije prvo pretvaramo datu funkciju prenosa u diferencijalne jednačine koje se takođe nazivaju dinamičkim jednačinama. Nakon pretvaranja u diferencijalne jednačine, uzimamo inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednačine, a zatim, u skladu s tipom dekompozicije, možemo kreirati model. Bilo koju vrstu funkcije prenosa možemo predstaviti modelom stanja. Imamo različite vrste modela, poput električnog modela, mehaničnog modela itd.

Izraz matrice prenosa u odnosu na A, B, C i D. Definisali smo matricu prenosa kao Laplaceovu transformaciju izlaza u odnosu na Laplaceovu transformaciju ulaza.Ponovo napišimo jednačine stanja i uzimajmo Laplaceovu transformaciju obe jednačine (pretpostavljajući da su početni uslovi jednaki nuli) imamo

Možemo napisati jednačinu kao

Gde, I predstavlja jediničnu matricu

Sada zamenjujući vrednost X(s) u jednačini Y(s) i postavljajući D = 0 (što znači da je to nula matrica) imamo

Inverz matrice može biti zamenjen adjungatom matrice podeljenim determinantom matrice, sada prepisujemo izraz i imamo

|sI-A| je takođe poznat kao karakteristična jednačina kada je izjednačena sa nulom.

Koncept sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora

Koreni karakteristične jednačine koju smo opisali iznad poznati su kao sopstvene vrednosti ili sopstvene vrednosti matrice A.Sada postoje neka svojstva vezana za sopstvene vrednosti i ova svojstva su navedena ispod-

• Bilo koja kvadratna matrica A i njena transponovana At imaju iste sopstvene vrednosti.

• Zbir sopstvenih vrednosti bilo koje matrice A jednak je tragu matrice A.

• Produkt sopstvenih vrednosti bilo koje matrice A jednak je determinanti matrice A.

• Ako pomnožimo skalarnu veličinu sa matricom A, tada se sopstvene vrednosti takođe množe istom vrednošću skalara.

• Ako invertujemo datu matricu A, tada se njene sopstvene vrednosti takođe invertuju.

• Ako su svi elementi matrice realni, tada su sopstvene vrednosti koje odgovaraju toj matrici ili realne ili postoje u kompleksnim konjugovanim parovima.

Sada postoji jedan sopstveni vektor koji odgovara jednoj sopstvenoj vrednosti, ako zadovoljava sledeći uslov (ek × I – A)Pk = 0. Gde, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matrica prelaza stanja i odgovor na nulto stanje

Zainteresovani smo u izvođenju izraza za matricu prelaza stanja i odgovor na nulto stanje. Ponovo uzimajući jednačine stanja koje smo izveli iznad i uzimajući njihovu Laplaceovu transformaciju, imamo,

Sada prepisujemo gornju jednačinu i imamo

Neka [sI-A] -1 = θ(s) i uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednačine, imamo

Izraz θ(t) je poznat kao matrica prelaza stanja.

L-1.θ(t)BU(s) = odgovor na nulto stanje.

Sada razmotrimo neke svojstva matrice prelaza stanja.

• Ako zamenimo t = 0 u gornjoj jednačini, dobićemo 1. Matematički možemo napisati θ(0) =1.

• Ako zamenimo t = -t u θ(t), dobićemo inverznu vrednost θ(t). Matematički možemo napisati θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Imamo još jedno važno svojstvo [θ(t)]n = θ(nt).