Apakah Analisis Ruang Keadaan

Apakah Analisis Ruang Keadaan?

Definisi Analisis Ruang Keadaan

Analisis ruang keadaan sistem kawalan adalah kaedah untuk menganalisis kedua-dua sistem mudah dan kompleks menggunakan set pemboleh ubah untuk menerangkan tingkah laku mereka sepanjang masa.

Persamaan Ruang Keadaan

Mari kita terbitkan persamaan ruang keadaan untuk sistem yang linear dan tidak berubah mengikut masa.

Mari kita pertimbangkan sistem input pelbagai dan output pelbagai yang mempunyai r input dan m output.

Di mana, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Dan m = y1, y2 ……….. ym.

Sekarang kita mengambil n pemboleh ubah keadaan untuk menerangkan sistem yang diberikan, jadi n = x1, x2, ……….. xn.

Kita juga menentukan vektor input dan output sebagai,

Transpos vektor input,

Di mana, T adalah transpos matriks.

Transpos vektor output,

Di mana, T adalah transpos matriks.

Transpos vektor keadaan,

Di mana, T adalah transpos matriks.

Pemboleh ubah-pemboleh ubah ini dihubungkan oleh satu set persamaan yang ditulis di bawah dan dikenali sebagai persamaan ruang keadaan

Perwakilan Model Keadaan Menggunakan Fungsi Peralihan

Penguraian : Ia ditakrifkan sebagai proses mendapatkan model keadaan daripada fungsi peralihan yang diberikan. Kini kita boleh mengurai fungsi peralihan menggunakan tiga cara yang berbeza:

• Penguraian langsung,

• Penguraian rangkaian atau siri,

• Penguraian selari.

Dalam semua kaedah penguraian di atas, kita pertama-tama menukar fungsi peralihan yang diberikan kepada persamaan pembezaan yang juga dipanggil persamaan dinamik. Selepas menukar kepada persamaan pembezaan, kita akan mengambil transformasi Laplace songsang persamaan di atas, maka mengikut jenis penguraian, kita boleh mencipta model. Kita boleh mewakili sebarang jenis fungsi peralihan dalam model keadaan. Kita mempunyai pelbagai jenis model seperti model elektrik, model mekanikal, dan lain-lain.

Ungkapan Matriks Peralihan dalam A, B, C, dan D. Kita menentukan matriks peralihan sebagai transformasi Laplace output kepada transformasi Laplace input.Dengan menulis semula persamaan keadaan dan mengambil transformasi Laplace kedua-dua persamaan keadaan (mengandaikan keadaan awal sama dengan sifar) kita mempunyai

Kita boleh menulis persamaan sebagai

Di mana, I adalah matriks identiti

Sekarang menggantikan nilai X(s) dalam persamaan Y(s) dan menetapkan D = 0 (bermaksud adalah matriks kosong) kita mempunyai

Invers matriks boleh digantikan dengan adj matriks dibahagikan dengan penentu matriks, kini dengan menulis semula ungkapan kita mempunyai

|sI-A| juga dikenali sebagai persamaan ciri apabila disamakan dengan sifar.

Konsep Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Punca persamaan ciri yang telah kita gambarkan di atas dikenali sebagai nilai eigen atau nilai eigen matriks A.Kini terdapat beberapa sifat berkaitan dengan nilai eigen dan sifat-sifat ini ditulis di bawah-

• Sebarang matriks segi empat sama A dan transposnya At mempunyai nilai eigen yang sama.

• Jumlah nilai eigen sebarang matriks A adalah sama dengan jejak matriks A.

• Hasil darab nilai eigen sebarang matriks A adalah sama dengan penentu matriks A.

• Jika kita mendarab skalar kepada matriks A, maka nilai eigen juga didarab dengan nilai skalar yang sama.

• Jika kita membalikkan matriks A yang diberikan, maka nilai eigennya juga dibalikkan.

• Jika semua unsur matriks adalah nyata, maka nilai eigen yang berkaitan dengan matriks tersebut adalah nyata atau wujud dalam pasangan konjugat kompleks.

Kini terdapat satu vektor eigen yang berkaitan dengan satu nilai eigen, jika ia memenuhi syarat berikut (ek × I – A)Pk = 0. Di mana, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matriks Transisi Keadaan dan Respons Nol Keadaan

Kita di sini berminat untuk mendapatkan ungkapan untuk matriks transisi keadaan dan respons nol keadaan. Lagi-lagi dengan mengambil persamaan keadaan yang telah kita terbitkan di atas dan mengambil transformasi Laplace mereka, kita mempunyai,

Sekarang dengan menulis semula persamaan di atas, kita mempunyai

Biarkan [sI-A] -1 = θ(s) dan mengambil transformasi Laplace songsang persamaan di atas, kita mempunyai

Ungkapan θ(t) dikenali sebagai matriks transisi keadaan.

L-1.θ(t)BU(s) = respons nol keadaan.

Sekarang mari kita perbincangkan beberapa sifat matriks transisi keadaan.

• Jika kita gantikan t = 0 dalam persamaan di atas, maka kita akan mendapatkan 1. Secara matematik, kita boleh tulis θ(0) =1.

• Jika kita gantikan t = -t dalam θ(t), maka kita akan mendapatkan songsangan θ(t). Secara matematik, kita boleh tulis θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Kita juga mempunyai sifat penting lain [θ(t)]n = θ(nt).