Que é a análise do espazo de estados

Que é a análise do espazo de estados?

Definición da análise do espazo de estados

A análise do espazo de estados dos sistemas de control é un método para analizar tanto sistemas simples como complexos utilizando un conxunto de variables para describir o seu comportamento ao longo do tempo.

Ecuacións do espazo de estados

Derivemos as ecuacións do espazo de estados para o sistema que é lineal e invariante no tempo.

Consideremos un sistema con múltiples entradas e múltiples salidas que ten r entradas e m salidas.

Onde, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

E m = y1, y2 ……….. ym.

Agora estamos a tomar n variables de estado para describir o sistema dado, polo que n = x1, x2, ……….. xn.

Tamén definimos os vectores de entrada e saída como,

Transposta dos vectores de entrada,

Onde, T é a transposta da matriz.

Transposta dos vectores de saída,

Onde, T é a transposta da matriz.

Transposta dos vectores de estado,

Onde, T é a transposta da matriz.

Estas variables están relacionadas por un conxunto de ecuacións que se escriben a continuación e coñécese como ecuacións do espazo de estados.

Representación do modelo de estado usando función de transferencia

Descomposición : Defínese como o proceso de obter o modelo de estado a partir da función de transferencia dada. Agora podemos descompor a función de transferencia de tres formas diferentes:

• Descomposición directa,

• Descomposición en cascada ou en serie,

• Descomposición paralela.

En todos os métodos de descomposición mencionados, primeiro convertimos a función de transferencia dada en ecuacións diferenciais, tamén chamadas ecuacións dinámicas. Despois de converter en ecuacións diferenciais, tomamos a transformada inversa de Laplace da ecuación anterior, e, segundo o tipo de descomposición, podemos crear o modelo. Podemos representar calquera tipo de función de transferencia no modelo de estado. Temos varios tipos de modelos, como o modelo eléctrico, o modelo mecánico, etc.

Expresión da matriz de transferencia en termos de A, B, C e D. Definimos a matriz de transferencia como a transformada de Laplace da saída á transformada de Laplace da entrada.Ao escribir as ecuacións de estado de novo e tomar a transformada de Laplace de ambas as ecuacións de estado (supondo condicións iniciais iguais a cero), temos

Podemos escribir a ecuación como

Onde, I é unha matriz identidade

Agora substituíndo o valor de X(s) na ecuación Y(s) e poñendo D = 0 (significa que é unha matriz nula) temos

A inversa da matriz pode substituirse pola adjunta da matriz dividida polo determinante da matriz, agora reescribindo a expresión temos de

|sI-A| tamén coñécese como ecuación característica cando se iguala a cero.

Concepto de valores propios e vectores propios

As raíces da ecuación característica que describimos arriba coñécense como valores propios ou valores propios da matriz A.Agora hai algúns propiedades relacionadas cos valores propios, e estas propiedades están escritas a continuación-

• Calquera matriz cadrada A e a súa transposta At teñen os mesmos valores propios.

• A suma dos valores propios de calquera matriz A é igual ao traço da matriz A.

• O produto dos valores propios de calquera matriz A é igual ao determinante da matriz A.

• Se multiplicamos unha cantidade escalar á matriz A, entón os valores propios tamén se multiplican polo mesmo valor escalar.

• Se invertimos a matriz A dada, entón os seus valores propios tamén se invirtense.

• Se todos os elementos da matriz son reais, entón os valores propios correspondentes a esa matriz son reais ou existen en pares conjugados complexos.

Agora existe un vector propio correspondente a un valor propio, se satisfai a seguinte condición (ek × I – A)Pk = 0. Onde, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matriz de transición de estado e resposta de estado cero

Aquí estamos interesados en derivar as expresións para a matriz de transición de estado e a resposta de estado cero. Novamente tomando as ecuacións de estado que derivamos arriba e tomando a súa transformada de Laplace, temos,

Agora reescribindo a ecuación anterior temos

Sexa [sI-A] -1 = θ(s) e tomando a transformada inversa de Laplace da ecuación anterior, temos

A expresión θ(t) coñécese como matriz de transición de estado.

L-1.θ(t)BU(s) = resposta de estado cero.

Agora vamos discutir algunhas das propiedades da matriz de transición de estado.

• Se substituímos t = 0 na ecuación anterior, obtendremos 1. Matematicamente podemos escribir θ(0) =1.

• Se substituímos t = -t en θ(t), obtendremos a inversa de θ(t). Matematicamente podemos escribir θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Tamén temos outra propiedade importante [θ(t)]n = θ(nt).