Cosa è l'analisi dello spazio degli stati?

Cos'è l'analisi dello spazio di stato?

Definizione dell'analisi dello spazio di stato

L'analisi dello spazio di stato dei sistemi di controllo è un metodo per analizzare sia sistemi semplici che complessi utilizzando un insieme di variabili per descrivere il loro comportamento nel tempo.

Equazioni dello spazio di stato

Deriviamo le equazioni dello spazio di stato per un sistema lineare e invariante nel tempo.

Consideriamo un sistema con più ingressi e più uscite, che ha r ingressi e m uscite.

Dove, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

E m = y1, y2 ……….. ym.

Ora stiamo prendendo n variabili di stato per descrivere il sistema dato, quindi n = x1, x2, ……….. xn.

Inoltre, definiamo i vettori di ingresso e uscita come,

Trasposizione dei vettori di ingresso,

Dove, T è la trasposizione della matrice.

Trasposizione dei vettori di uscita,

Dove, T è la trasposizione della matrice.

Trasposizione dei vettori di stato,

Dove, T è la trasposizione della matrice.

Queste variabili sono correlate da un insieme di equazioni scritte di seguito e note come equazioni dello spazio di stato.

Rappresentazione del modello di stato utilizzando la funzione di trasferimento

Decomposizione : È definita come il processo di ottenere il modello di stato dalla funzione di trasferimento data. Ora possiamo decomporre la funzione di trasferimento in tre modi diversi:

• Decomposizione diretta,

• Decomposizione in cascata o in serie,

• Decomposizione parallela.

In tutti i metodi di decomposizione sopra menzionati, prima convertiamo la funzione di trasferimento data in equazioni differenziali, anche chiamate equazioni dinamiche. Dopo averle convertite in equazioni differenziali, prenderemo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione e, a seconda del tipo di decomposizione, creeremo il modello. Possiamo rappresentare qualsiasi tipo di funzione di trasferimento nel modello di stato. Abbiamo vari tipi di modelli come il modello elettrico, il modello meccanico, ecc.

Espressione della matrice di trasferimento in termini di A, B, C e D. Definiamo la matrice di trasferimento come la trasformata di Laplace dell'uscita rispetto alla trasformata di Laplace dell'ingresso.Scrivendo nuovamente le equazioni di stato e prendendo la trasformata di Laplace di entrambe le equazioni di stato (assumendo condizioni iniziali uguali a zero) abbiamo

Possiamo scrivere l'equazione come

Dove, I è una matrice identità

Ora sostituendo il valore di X(s) nell'equazione Y(s) e ponendo D = 0 (cioè una matrice nulla) abbiamo

L'inversa della matrice può essere sostituita dal complemento algebrico della matrice diviso per il determinante della matrice, ora riscrivendo l'espressione abbiamo

|sI-A| è anche nota come equazione caratteristica quando posta uguale a zero.

Concetto di autovalori e autovettori

Le radici dell'equazione caratteristica descritta sopra sono note come autovalori o valori propri della matrice A.Ora esistono alcune proprietà relative agli autovalori e queste proprietà sono elencate di seguito-

• Ogni matrice quadrata A e la sua trasposta At hanno gli stessi autovalori.

• La somma degli autovalori di qualsiasi matrice A è uguale alla traccia della matrice A.

• Il prodotto degli autovalori di qualsiasi matrice A è uguale al determinante della matrice A.

• Se moltiplichiamo una quantità scalare per la matrice A, allora gli autovalori vengono moltiplicati dallo stesso valore scalare.

• Se invertiamo la matrice A data, allora i suoi autovalori vengono invertiti.

• Se tutti gli elementi della matrice sono reali, allora gli autovalori corrispondenti a quella matrice sono o reali o esistono in coppie complesse coniugate.

Ora esiste un autovettore corrispondente a un autovalore, se soddisfa la seguente condizione (ek × I – A)Pk = 0. Dove, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matrice di transizione di stato e risposta allo stato zero

Siamo qui interessati a derivare le espressioni per la matrice di transizione di stato e la risposta allo stato zero. Ancora una volta, prendendo le equazioni di stato che abbiamo derivato sopra e prendendone la trasformata di Laplace, abbiamo,

Ora riscrivendo l'equazione sopra abbiamo

Sia [sI-A] -1 = θ(s) e prendendo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione sopra abbiamo

L'espressione θ(t) è nota come matrice di transizione di stato.

L-1.θ(t)BU(s) = risposta allo stato zero.

Ora discutiamo alcune delle proprietà della matrice di transizione di stato.

• Se sostituiamo t = 0 nell'equazione sopra, otterremo 1. Matematicamente possiamo scrivere θ(0) =1.

• Se sostituiamo t = -t in θ(t), otterremo l'inverso di θ(t). Matematicamente possiamo scrivere θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Abbiamo anche un'altra proprietà importante [θ(t)]n = θ(nt).