Hva er tilstandromsanalyse?

Hva er tilstandromsanalyse?

Definisjon av tilstandromsanalyse

Tilstandromsanalyse av styresystemer er en metode for å analysere både enkle og komplekse systemer ved hjelp av et sett med variabler for å beskrive deres oppførsel over tid.

Tilstandromsligninger

Lat oss utlede tilstandromsligninger for systemet som er lineært og tidsuavhengig.

La oss betrakte et system med flere innganger og flere utganger som har r innganger og m utganger.

Der r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Og m = y1, y2 ……….. ym.

Nå tar vi n tilstandsvariabler for å beskrive det gitte systemet, derfor n = x1, x2, ……….. xn.

Vi definerer også inngangs- og utgangsvektorer som,

Transponert inngangsvektor,

Der T er transponert matrise.

Transponert utgangsvektor,

Der T er transponert matrise.

Transponert tilstandsvektor,

Der T er transponert matrise.

Disse variablene er relatert gjennom et sett med ligninger som er skrevet nedenfor og kjent som tilstandromsligninger.

Repræsentasjon av tilstandmodell ved hjelp av overføringsfunksjon

Dekomposisjon: Det er definert som prosessen med å få tilstandmodellen fra den gitte overføringsfunksjonen. Nå kan vi dekomponere overføringsfunksjonen på tre forskjellige måter:

• Direkte dekomposisjon,

• Kaskade eller serie dekomposisjon,

• Parallel dekomposisjon.

I alle de ovennevnte dekomposisjonsmetodene konverterer vi først den gitte overføringsfunksjonen til differensialligninger, som også kalles dynamiske ligninger. Etter å ha konvertert til differensialligninger tar vi invers Laplace-transformasjon av den ovennevnte ligningen, og i henhold til typen dekomposisjon kan vi lage modellen. Vi kan representere enhver type overføringsfunksjon i tilstandmodell. Vi har ulike typer modeller som elektrisk modell, mekanisk modell osv.

Utrykk for overføringsmatrise i termer av A, B, C og D. Vi definerer overføringsmatrisen som Laplace-transformasjonen av utgangen til Laplace-transformasjonen av inngangen.Ved å skrive tilstandsligningene igjen og ta Laplace-transformasjon av begge tilstandsligningene (antatt at startbetingelsene er null) har vi

Vi kan skrive ligningen som

Der I er en identitetsmatrise

Nå ved å substituere verdien av X(s) i ligningen Y(s) og sette D = 0 (som betyr at det er en nullmatrise) har vi

Inversen av matrisen kan erstattes med adjungering av matrisen delt på determinanten av matrisen, nå ved å omskrive uttrykket har vi

|sI-A| er også kjent som karakteristisk ligning når den settes lik null.

Konsept av egenverdier og egenvektorer

Røttene av karakteristisk ligning som vi har beskrevet ovenfor er kjent som egenverdier eller egenverdier av matrise A.Nå er det noen egenskaper knyttet til egenverdier, og disse egenskapene er skrevet nedenfor-

• Enhver kvadratisk matrise A og dens transponerte At har samme egenverdier.

• Summen av egenverdiene til enhver matrise A er lik sporet av matrise A.

• Produktet av egenverdiene til enhver matrise A er lik determinanten av matrise A.

• Hvis vi multipliserer en skalar størrelse med matrise A, så blir egenverdiene også multiplisert med samme verdi av skalaren.

• Hvis vi inverterer den gitte matrisen A, så blir dens egenverdier også invertert.

• Hvis alle elementene i matrisen er reelle, så er egenverdiene som tilsvarer denne matrisen enten reelle eller eksisterer i komplekse konjugerte par.

Det eksisterer en egenvektor som tilsvarer en egenverdi, hvis den oppfyller følgende betingelse (ek × I – A)Pk = 0. Der k = 1, 2, 3, ……..n.

Tilstandsovergångsmatrise og nulltilstandsrespons

Her er vi interessert i å utlede uttrykk for tilstandsovergångsmatrisen og nulltilstandsrespons. Igjen ved å ta tilstandsligningene vi har utledet ovenfor og ta Laplace-transformasjon av dem har vi,

Nå ved å omskrive den ovennevnte ligningen har vi

La [sI-A] -1 = θ(s) og ta invers Laplace-transformasjon av den ovennevnte ligningen har vi

Uttrykket θ(t) er kjent som tilstandsovergångsmatrise.

L-1.θ(t)BU(s) = nulltilstandsrespons.

La oss nå diskutere noen av egenskapene til tilstandsovergångsmatrisen.

• Hvis vi substituerer t = 0 i den ovennevnte ligningen, får vi 1. Matematisk kan vi skrive θ(0) =1.

• Hvis vi substituerer t = -t i θ(t), får vi inversen av θ(t). Matematisk kan vi skrive θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Vi har også en viktig egenskap [θ(t)]n = θ(nt).