ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಕಾಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎನ್ನುವುದು ಏನು?

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಕಾಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದರೇನು?

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಕಾಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ನಿಯಂತ್ರಣ ಪದ್ಧತಿಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಕಾಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸರಳ ಮತ್ತು ಜಟಿಲ ಪದ್ಧತಿಗಳನ್ನು ಕಾಲದ ಹೋರಾಡಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ವ್ಯವಹಾರದ ವಿವರಣೆ ಮಾಡಲು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಕಾಶ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಕಾಶ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಾಲದ ಅನವರ್ತನೀಯ ಪದ್ಧತಿಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಿಸೋಣ.

ನಾವು ಅನೇಕ ಇನ್-ಪುಟಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಔಟ್-ಪುಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ r ಇನ್-ಪುಟಗಳು ಮತ್ತು m ಔಟ್-ಪುಟಗಳಿವೆ.

ಇದರಲ್ಲಿ, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

ಮತ್ತು m = y1, y2 ……….. ym.

ನಾವು ಈ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು n ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಿಂದ n = x1, x2, ……….. xn.

ನಾವು ಇನ್-ಪುಟ ಮತ್ತು ಔಟ್-ಪುಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ,

ಇನ್-ಪುಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್,

ಇಲ್ಲಿ, T ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸಿನ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಅನ್ವಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್,

ಇಲ್ಲಿ, T ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸಿನ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್ ಆಗಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್,

ಇಲ್ಲಿ, T ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸಿನ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಈ ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಇವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಕಾಶ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ಆವರ್ತನ ಫಲನದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವ

ವಿಘಟನೆ : ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೀಡಿದ ಆವರ್ತನ ಫಲನದಿಂದ ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಆವರ್ತನ ಫಲನವನ್ನು ಮೂರು ಭಿನ್ನ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು:

• ನೇರ ವಿಘಟನೆ,

• ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಶ್ರೇಣಿ ವಿಘಟನೆ,

• ಸಮಾಂತರ ವಿಘಟನೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಮೇಲಿನ ವಿಘಟನಾ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ನೀಡಿದ ಆವರ್ತನ ಫಲನವನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಡೈನಮಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಲಾಪ್ಲೇಸ್ ವಿಲೋಮ ಲೆಕ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರ ಪ್ರಕಾರ ವಿಘಟನಾ ವಿಧಕ್ಕೆ ಮೋಡಲ್ ಸೃಷ್ಟಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತನ ಫಲನವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ನಾವು ವಿದ್ಯುತ್ ಮಾದರಿ, ಮೆಕಾನಿಕಲ್ ಮಾದರಿ ಮುಂತಾದ ವಿವಿಧ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

A, B, C ಮತ್ತು D ಗಳ ಮೂಲಕ ಆವರ್ತನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸಿನ ವ್ಯಕ್ತೀಕರಣ. ನಾವು ಆವರ್ತನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸನ್ನು ಇನ್-ಪುಟದ ಲಾಪ್ಲೇಸ್ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ ಔಟ್-ಪುಟದ ಲಾಪ್ಲೇಸ್ ವಿಲೋಮದ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬರೆದು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಲಾಪ್ಲೇಸ್ ವಿಲೋಮ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ (ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ) ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ, I ಒಂದು ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ

ಈಗ X(s) ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು Y(s) ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿ D = 0 (ಇದರ ಅರ್ಥ ಇದು ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸಿನ ಆಧ್ಯಾಯ ಭಾಗವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸಿನ ನಿರ್ಧಾರಕದಿಂದ ವಿಭಜಿಸಿ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಬಹುದು, ಈಗ ವ್ಯಕ್ತೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬರೆದು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

|sI-A| ಎಂಬುದನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಸಮನಾಗಿಸಿದಾಗ ಇದನ್ನು ಲಕ್ಷಣ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮತ್ತು ಈಜನ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಭಾವನೆ

ನಾವು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲಕ್ಷಣ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಗುಣಗಳಿವೆ, ಇವು ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿವೆ-

• ಯಾವುದೇ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಮತ್ತು ಅದರ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್ At ಒಂದೇ ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

• ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಟ್ರೇಸ್ ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

• ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ನಿರ್ಧಾರಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

• ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ್ನು ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

• ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ್ನು ವಿಲೋಮ ಮಾಡಿದಾಗ ಅದರ ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸ್ವಯಂ ವಿಲೋಮ ಆಗುತ್ತವೆ.

• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಥಾರ್ಥವಾಗಿ ಇರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಜೊತೆಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ಇರುತ್ತವೆ.

ಈಗ ಪ್ರತಿ ಈಜನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಈಜನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಇದ್ದು, ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಶರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಿದಾಗ (ek × I – A)Pk = 0. ಇಲ್ಲಿ, k = 1, 2, 3, ……..n.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಕಾಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಅವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ

ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಕಾಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಅವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತೆ ಮೇಲೆ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಿಸಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗ