Что такое анализ состояний?

Что такое анализ пространства состояний?

Определение анализа пространства состояний

Анализ пространства состояний систем управления - это метод анализа как простых, так и сложных систем с использованием набора переменных для описания их поведения во времени.

Уравнения пространства состояний

Приведем уравнения пространства состояний для системы, которая является линейной и неизменной во времени.

Рассмотрим систему с несколькими входами и несколькими выходами, которая имеет r входов и m выходов.

Где, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

И m = y1, y2 ……….. ym.

Теперь мы берем n переменных состояния для описания данной системы, поэтому n = x1, x2, ……….. xn.

Также определяем векторы входов и выходов следующим образом,

Транспонированные векторы входов,

Где, T - транспонированная матрица.

Транспонированные векторы выходов,

Где, T - транспонированная матрица.

Транспонированные векторы состояний,

Где, T - транспонированная матрица.

Эти переменные связаны набором уравнений, которые приведены ниже и известны как уравнения пространства состояний.

Представление модели состояния с помощью передаточной функции

Декомпозиция : Это процесс получения модели состояния из заданной передаточной функции. Теперь мы можем декомпозировать передаточную функцию тремя разными способами:

• Прямая декомпозиция,

• Каскадная или последовательная декомпозиция,

• Параллельная декомпозиция.

Во всех вышеупомянутых методах декомпозиции мы сначала преобразуем заданную передаточную функцию в дифференциальные уравнения, которые также называются динамическими уравнениями. После преобразования в дифференциальные уравнения мы возьмем обратное преобразование Лапласа от этих уравнений, а затем, в зависимости от типа декомпозиции, создадим модель. Мы можем представить любую передаточную функцию в виде модели состояния. У нас есть различные типы моделей, такие как электрическая модель, механическая модель и т.д.

Выражение матрицы передачи через A, B, C и D. Мы определяем матрицу передачи как преобразование Лапласа выхода к преобразованию Лапласа входа.Записывая снова уравнения состояния и беря преобразование Лапласа от обоих уравнений состояния (предполагая начальные условия равными нулю), мы имеем

Можно записать уравнение как

Где, I - единичная матрица

Теперь, подставляя значение X(s) в уравнение Y(s) и полагая D = 0 (что означает, что это нулевая матрица), мы имеем

Обратная матрица может быть заменена приращением матрицы, деленным на определитель матрицы, теперь, переписывая выражение, мы имеем

|sI-A| также известно как характеристическое уравнение, когда оно равно нулю.

Понятие собственных значений и собственных векторов

Корни характеристического уравнения, которое мы описали выше, известны как собственные значения или собственные значения матрицы A.Существуют некоторые свойства, связанные с собственными значениями, и эти свойства приведены ниже-

• Любая квадратная матрица A и ее транспонированная At имеют одинаковые собственные значения.

• Сумма собственных значений любой матрицы A равна следу матрицы A.

• Произведение собственных значений любой матрицы A равно определителю матрицы A.

• Если мы умножаем скалярное значение на матрицу A, то собственные значения также умножаются на то же значение скаляра.

• Если мы инвертируем данную матрицу A, то ее собственные значения также инвертируются.

• Если все элементы матрицы являются вещественными, то соответствующие им собственные значения либо вещественные, либо существуют в комплексно сопряженных парах.

Существует один собственный вектор, соответствующий одному собственному значению, если он удовлетворяет следующему условию (ek × I – A)Pk = 0. Где, k = 1, 2, 3, ……..n.

Матрица перехода состояния и нулевая реакция состояния

Нас интересует вывод выражений для матрицы перехода состояния и нулевой реакции состояния. Снова взяв уравнения состояния, которые мы вывели выше, и взяв их преобразование Лапласа, мы имеем,

Переписывая вышеуказанное уравнение, мы получаем

Пусть [sI-A] -1 = θ(s) и, взяв обратное преобразование Лапласа от вышеуказанного уравнения, мы имеем

Выражение θ(t) известно как матрица перехода состояния.

L-1.θ(t)BU(s) = нулевая реакция состояния.

Теперь давайте обсудим некоторые свойства матрицы перехода состояния.

• Если мы подставим t = 0 в вышеуказанное уравнение, то мы получим 1. Математически мы можем записать θ(0) =1.

• Если мы подставим t = -t в θ(t), то мы получим обратную θ(t). Математически мы можем записать θ(-t) = [θ(t)]-1.

• У нас также есть еще одно важное свойство [θ(t)]n = θ(nt).