Co je analýza stavového prostoru?
Co je analýza stavového prostoru?
Definice analýzy stavového prostoru
Analýza stavového prostoru systémů řízení je metoda pro analýzu jak jednoduchých, tak složitých systémů pomocí sady proměnných, které popisují jejich chování v průběhu času.
Stavové rovnice
Nejprve odvodíme stavové rovnice pro systém, který je lineární a časově invariantní.
Uvažujme systém s více vstupy a více výstupy, který má r vstupů a m výstupů.
Kde r = u1, u2, u3 ……….. ur.
A m = y1, y2 ……….. ym.
Nyní vezmeme n stavových proměnných k popisu daného systému, tedy n = x1, x2, ……….. xn.
Dále definujeme vektor vstupů a vektor výstupů jako,
Transpozice vektoru vstupů,
Kde T znamená transpozici matice.
Transpozice vektoru výstupů,
Kde T znamená transpozici matice.
Transpozice stavového vektoru,
Kde T znamená transpozici matice.
Tyto proměnné jsou spojeny sadou rovnic, které jsou napsány níže a jsou známé jako stavové rovnice.
Reprezentace stavového modelu pomocí přenosové funkce
Rozklad : Definuje se jako proces získání stavového modelu z dané přenosové funkce. Nyní můžeme rozložit přenosovou funkci třemi různými způsoby:
Přímý rozklad,
Série nebo kaskádový rozklad,
Paralelní rozklad.
V všech výše uvedených metodách rozkladu nejprve převedeme danou přenosovou funkci na diferenciální rovnice, které se také nazývají dynamické rovnice. Po převodu na diferenciální rovnice vezmeme inverzní Laplaceovu transformaci výše uvedené rovnice a podle typu rozkladu můžeme vytvořit model. Jakýkoli typ přenosové funkce můžeme reprezentovat ve stavovém modelu. Máme různé typy modelů, jako jsou elektrické modely, mechanické modely atd.
Výraz přenosové matice vzhledem k A, B, C a D. Definujeme přenosovou matici jako Laplaceovu transformaci výstupu k Laplaceově transformaci vstupu.Znovu napišeme stavové rovnice a provedeme Laplaceovu transformaci obou stavových rovnic (pokud začínáme s nulovými počátečními podmínkami), pak máme
Můžeme napsat rovnici jako
Kde I je identická matice
Nyní dosadíme hodnotu X(s) do rovnice Y(s) a položíme D = 0 (což znamená, že je to nulová matice), pak máme
Inverzi matice lze nahradit adjungovanou maticí dělenou determinantem matice, nyní přepíšeme výraz a máme
|sI-A| je také známá jako charakteristická rovnice, pokud je rovná nule.
Koncept vlastních hodnot a vlastních vektorů
Kořeny charakteristické rovnice, kterou jsme popisovali výše, jsou známy jako vlastní hodnoty nebo vlastní hodnoty matice A.Nyní existují některé vlastnosti související s vlastními hodnotami a tyto vlastnosti jsou napsány níže -
Jakákoli čtvercová matice A a její transpozice At mají stejné vlastní hodnoty.
Součet vlastních hodnot jakékoliv matice A je roven stopě matice A.
Součin vlastních hodnot jakékoliv matice A je roven determinantu matice A.
Pokud vynásobíme skalární hodnotu matici A, pak se vlastní hodnoty také vynásobí stejnou hodnotou skaláru.
Pokud invertujeme danou matici A, pak se i její vlastní hodnoty invertují.
Pokud jsou všechny prvky matice reálné, pak vlastní hodnoty odpovídající této matici jsou buď reálné, nebo existují v komplexně sdružených párech.
Nyní existuje jeden vlastní vektor odpovídající jedné vlastní hodnotě, pokud splňuje následující podmínku (ek × I – A)Pk = 0. Kde k = 1, 2, 3, ……..n.
Matice přechodu stavů a odpověď na nulový stav
Zde jsme zainteresováni v odvození výrazů pro matici přechodu stavů a odpověď na nulový stav. Znovu vezmeme stavové rovnice, které jsme odvodili výše, a provedeme jejich Laplaceovu transformaci, pak máme,
Nyní přepíšeme výše uvedenou rovnici a máme
Nechť [sI-A] -1 = θ(s) a provedeme inverzní Laplaceovu transformaci výše uvedené rovnice, pak máme
Výraz θ(t) je známý jako matice přechodu stavů.
L-1.θ(t)BU(s) = odpověď na nulový stav.
Nyní diskutujme některé vlastnosti matice přechodu stavů.
Pokud dosadíme t = 0 do výše uvedené rovnice, pak dostaneme 1. Matematicky můžeme napsat θ(0) =1.
Pokud dosadíme t = -t do θ(t), pak dostaneme inverzi θ(t). Matematicky můžeme napsat θ(-t) = [θ(t)]-1.
Máme také další důležitou vlastnost [θ(t)]n = θ(nt).
