Hvad er tilstandsmæssig analyse?

Hvad er tilstandsrumanalyse?

Definition af tilstandsrumanalyse

Tilstandsrumanalyse af styresystemer er en metode til at analysere både simple og komplekse systemer ved hjælp af et sæt variable for at beskrive deres adfærd over tid.

Tilstandsrumligninger

Lad os udlede tilstandsrumligninger for systemet, som er lineært og tidsinvariant.

Lad os betragte et system med flere indgange og flere udgange, som har r indgange og m udgange.

Hvor, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Og m = y1, y2 ……….. ym.

Nu tager vi n tilstandsvariabler for at beskrive det givne system, således at n = x1, x2, ……….. xn.

Vi definerer også ind- og udgangsvektorer som,

Transponering af indgangsvektorer,

Hvor, T er transponeringen af matricen.

Transponering af udgangsvektorer,

Hvor, T er transponeringen af matricen.

Transponering af tilstandsvectorer,

Hvor, T er transponeringen af matricen.

Disse variable er relateret ved et sæt ligninger, som er skrevet nedenfor og kendt som tilstandsrumsligninger

Repræsentation af tilstandsmodel ved brug af overførselsfunktion

Dekomposition : Det er defineret som processen for at opnå tilstandsmodellen fra den givne overførselsfunktion. Nu kan vi dekomponere overførselsfunktionen på tre forskellige måder:

• Direkte dekomposition,

• Kaskade- eller serie-dekomposition,

• Parallel dekomposition.

I alle de ovenstående dekompositionsmetoder konverterer vi først den givne overførselsfunktion til differentialligninger, som også kaldes dynamiske ligninger. Efter konvertering til differentialligninger tager vi invers Laplace-transform af den ovenstående ligning, og derefter kan vi oprette modellen i overensstemmelse med typen dekomposition. Vi kan repræsentere enhver type overførselsfunktion i tilstandsmodel. Vi har forskellige typer modeller som elektriske modeller, mekaniske modeller osv.

Udtryk for overførselsmatrix i termer af A, B, C og D. Vi definerer overførselsmatrixen som Laplace-transformen af output til Laplace-transformen af input.Ved at skrive tilstands-ligningerne igen og tage Laplace-transformen af begge tilstands-ligninger (under antagelse af nulstartsbetingelser) har vi

Vi kan skrive ligningen som

Hvor, I er en identitetsmatrix

Nu ved at indsætte værdien af X(s) i ligningen Y(s) og sætte D = 0 (betyder at det er en nul-matrix) har vi

Inversen af matricen kan erstattes ved adjointen af matricen divideret med determinanten af matricen, nu ved at omskrive udtrykket har vi

|sI-A| er også kendt som karakteristisk ligning, når den sættes lig med nul.

Konceptet om egenværdier og egenvektorer

Rødderne af den karakteristiske ligning, som vi har beskrevet ovenfor, kaldes egenværdier eller egenværdier af matricen A.Der findes nu nogle egenskaber relateret til egenværdier, og disse egenskaber er skrevet nedenfor-

• Enhver kvadratisk matrix A og dens transponerede At har de samme egenværdier.

• Summen af egenværdierne af enhver matrix A er lig sporet af matricen A.

• Produktet af egenværdierne af enhver matrix A er lig determinanten af matricen A.

• Hvis vi ganger en skalar størrelse med matrix A, så bliver egenværdierne også ganget med samme skalar-værdi.

• Hvis vi inverterer den givne matrix A, så bliver dets egenværdier også inverteret.

• Hvis alle elementer i matricen er reelle, så er egenværdierne enten reelle eller eksisterer i kompleks konjugeret par.

Der findes nu en egenvektor, der svarer til en egenværdi, hvis den opfylder følgende betingelse (ek × I – A)Pk = 0. Hvor, k = 1, 2, 3, ……..n.

Tilstandsovergangsmatrix og nul-tilstandssvar

Her er vi interesseret i at udlede udtryk for tilstandsovergangsmatrixen og nul-tilstandssvaret. Ved at tage tilstands-ligningerne, som vi har udledt ovenfor, og tage deres Laplace-transformation, har vi,

Nu ved at omskrive den ovenstående ligning har vi

Lad [sI-A] -1 = θ(s) og tag den inverse Laplace-transformation af den ovenstående ligning, har vi

Udtrykket θ(t) er kendt som tilstandsovergangsmatrix.

L-1.θ(t)BU(s) = nul-tilstandssvar.

Lad os nu diskutere nogle af egenskaberne ved tilstandsovergangsmatrixen.

• Hvis vi indsætter t = 0 i den ovenstående ligning, så får vi 1. Matematisk kan vi skrive θ(0) =1.

• Hvis vi indsætter t = -t i θ(t), så får vi inversen af θ(t). Matematisk kan vi skrive θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Vi har også en anden vigtig egenskab [θ(t)]n = θ(nt).