چیست تحلیل فضای حالت

آنالیز فضای حالت چیست؟

تعریف آنالیز فضای حالت

آنالیز فضای حالت سیستم‌های کنترل روشی برای تحلیل هر دو نوع ساده و پیچیده با استفاده از مجموعه‌ای از متغیرها برای توصیف رفتار آن‌ها در طول زمان است.

معادلات فضای حالت

بیایید معادلات فضای حالت را برای سیستمی که خطی و ناوردا در زمان است، مشتق کنیم.

بیایید سیستمی با چندین ورودی و چندین خروجی را در نظر بگیریم که r ورودی و m خروجی دارد.

که در آن، r = u1, u2, u3 ……….. ur.

و m = y1, y2 ……….. ym.

حالا ما n متغیر حالت را برای توصیف سیستم مورد نظر در نظر می‌گیریم بنابراین n = x1, x2, ……….. xn.

همچنین ما بردارهای ورودی و خروجی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم،

ترانهاده بردارهای ورودی،

که در آن، T ترانهاده ماتریس است.

ترانهاده بردارهای خروجی،

که در آن، T ترانهاده ماتریس است.

ترانهاده بردارهای حالت،

که در آن، T ترانهاده ماتریس است.

این متغیرها توسط مجموعه‌ای از معادلات که در زیر نوشته شده‌اند و معروف به معادلات فضای حالت هستند، مرتبط هستند.

نمایش مدل حالت با استفاده از تابع انتقال

تجزیه: تجزیه به عنوان فرآیند به دست آوردن مدل حالت از تابع انتقال داده شده تعریف می‌شود. حالا می‌توانیم تابع انتقال را با استفاده از سه روش مختلف تجزیه کنیم:

• تجزیه مستقیم،

• تجزیه کASCADE یا سری،

• تجزیه موازی.

در تمام روش‌های تجزیه فوق، ابتدا تابع انتقال داده شده را به معادلات دیفرانسیل که همچنین معادلات دینامیکی نیز نامیده می‌شوند، تبدیل می‌کنیم. پس از تبدیل به معادلات دیفرانسیل، تبدیل لاپلاس معکوس معادله بالا را گرفته و متناسب با نوع تجزیه می‌توانیم مدل ایجاد کنیم. می‌توانیم هر نوع تابع انتقال را در مدل حالت نمایش دهیم. ما انواع مختلفی از مدل‌ها مانند مدل الکتریکی، مدل مکانیکی و غیره داریم.

بررسی ماتریس انتقال در جملات A, B, C و D. ما ماتریس انتقال را به عنوان تبدیل لاپلاس خروجی به تبدیل لاپلاس ورودی تعریف می‌کنیم.با نوشتن مجدد معادلات حالت و گرفتن تبدیل لاپلاس از هر دو معادله حالت (با فرض شرایط اولیه صفر) داریم

می‌توانیم معادله را به صورت زیر بنویسیم

که در آن، I یک ماتریس همانی است

حالا با جایگذاری مقدار X(s) در معادله Y(s) و قرار دادن D = 0 (یعنی یک ماتریس خالی) داریم

ماتریس معکوس می‌تواند با تقسیم متمم ماتریس بر دترمینان ماتریس جایگزین شود، حالا با بازنویسی عبارت داریم

|sI-A| نیز به عنوان معادله مشخصه شناخته می‌شود وقتی به صفر مساوی است.

مفهوم مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

ریشه‌های معادله مشخصه که در بالا توصیف کردیم به عنوان مقادیر ویژه یا مقادیر ویژه ماتریس A شناخته می‌شوند.حالا برخی خصوصیات مربوط به مقادیر ویژه وجود دارد و این خصوصیات در زیر نوشته شده‌اند-

• هر ماتریس مربعی A و ترانهاده آن At دارای مقادیر ویژه یکسان هستند.

• مجموع مقادیر ویژه هر ماتریس A برابر با رد ماتریس A است.

• حاصلضرب مقادیر ویژه هر ماتریس A برابر با دترمینان ماتریس A است.

• اگر یک عدد اسکالر را در ماتریس A ضرب کنیم، مقادیر ویژه نیز با همان مقدار اسکالر ضرب می‌شوند.

• اگر ماتریس A را معکوس کنیم، مقادیر ویژه نیز معکوس می‌شوند.

• اگر تمام عناصر ماتریس حقیقی باشند، مقادیر ویژه متناظر با آن ماتریس یا حقیقی هستند یا به صورت زوج مزدوج مختلط وجود دارند.

حالا برای هر مقدار ویژه یک بردار ویژه وجود دارد که اگر شرط زیر را برآورده کند (ek × I – A)Pk = 0. که در آن، k = 1, 2, 3, ……..n.

ماتریس انتقال حالت و پاسخ حالت صفر

ما در اینجا علاقمند به به دست آوردن عبارات ماتریس انتقال حالت و پاسخ حالت صفر هستیم. باز هم با گرفتن معادلات حالت که در بالا مشتق کردیم و گرفتن تبدیل لاپلاس آن‌ها داریم،

حالا با بازنویسی معادله بالا داریم

بگذارید [sI-A] -1 = θ(s) و با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله بالا داریم

عبارت θ(t) به عنوان ماتریس انتقال حالت شناخته می‌شود.

L-1.θ(t)BU(s) = پاسخ حالت صفر.

حالا بیایید برخی از خصوصیات ماتریس انتقال حالت را بررسی کنیم.

• اگر t = 0 را در معادله بالا جایگزین کنیم، 1 خواهیم داشت. ریاضیاً می‌توانیم بنویسیم θ(0) =1.

• اگر t = -t را در θ(t) جایگزین کنیم، معکوس θ(t) خواهیم داشت. ریاضیاً می‌توانیم بنویسیم θ(-t) = [θ(t)]-1.

• ما نیز خاصیت مهم دیگری داریم [θ(t)]n = θ(nt).