چه چیزی تحلیل فضای حالت است

چه می‌باشد تحلیل فضای حالت؟

تعریف تحلیل فضای حالت

تحلیل فضای حالت سیستم‌های کنترل روشی است برای تحلیل هر دو نوع سیستم‌های ساده و پیچیده با استفاده از مجموعه‌ای از متغیرها برای توصیف رفتار آن‌ها در طول زمان.

معادلات فضای حالت

بیایید معادلات فضای حالت را برای سیستمی که خطی و ناپدید شونده با زمان است، بدست آوریم.

بیایید سیستمی با چندین ورودی و چندین خروجی را در نظر بگیریم که r ورودی و m خروجی دارد.

که در آن، r = u1, u2, u3 ……….. ur.

و m = y1, y2 ……….. ym.

حالا ما n متغیر حالت را برای توصیف سیستم داده شده در نظر می‌گیریم، بنابراین n = x1, x2, ……….. xn.

همچنین ما بردارهای ورودی و خروجی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم،

تранسپوز بردارهای ورودی،

که در آن، T ترانسپوز ماتریس است.

ترانسپوز بردارهای خروجی،

که در آن، T ترانسپوز ماتریس است.

ترانسپوز بردارهای حالت،

که در آن، T ترانسپوز ماتریس است.

این متغیرها توسط مجموعه‌ای از معادلات که در زیر نوشته شده‌اند و معادلات فضای حالت نامیده می‌شوند، مرتبط هستند.

نمایش مدل حالت با استفاده از تابع انتقال

تجزیه : این فرآیند به دست آوردن مدل حالت از تابع انتقال داده شده تعریف می‌شود. حالا می‌توانیم تابع انتقال را با سه روش مختلف تجزیه کنیم:

• تجزیه مستقیم،

• تجزیه کASCADE یا سری،

• تجزیه موازی.

در تمام روش‌های تجزیه بالا، ابتدا تابع انتقال داده شده را به معادلات دیفرانسیل (که همچنین معادلات دینامیکی نامیده می‌شوند) تبدیل می‌کنیم. پس از تبدیل به معادلات دیفرانسیل، تبدیل لاپلاس معکوس معادله فوق را محاسبه می‌کنیم و سپس متناسب با نوع تجزیه، مدل را ایجاد می‌کنیم. می‌توانیم هر نوع تابع انتقال را در مدل حالت نمایش دهیم. ما انواع مختلفی از مدل‌ها مانند مدل الکتریکی، مدل مکانیکی و غیره داریم.

برحسب A، B، C و D بیان ماتریس انتقال. ما ماتریس انتقال را به عنوان تبدیل لاپلاس خروجی به تبدیل لاپلاس ورودی تعریف می‌کنیم.با نوشتن دوباره معادلات حالت و گرفتن تبدیل لاپلاس از هر دو معادله حالت (با فرض شرایط اولیه صفر)، داریم

می‌توانیم معادله را به صورت زیر بنویسیم

که در آن، I یک ماتریس همانی است

حالا با جایگذاری مقدار X(s) در معادله Y(s) و قرار دادن D = 0 (به معنای یک ماتریس صفر) داریم

وارون ماتریس می‌تواند با تقسیم متمم ماتریس بر دترمینان ماتریس جایگزین شود، حالا با بازننویسی عبارت داریم

|sI-A| نیز به عنوان معادله مشخصه شناخته می‌شود وقتی به صفر مساوی می‌شود.

مفهوم مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

ریشه‌های معادله مشخصه که در بالا توصیف شده‌اند به عنوان مقادیر ویژه یا مقادیر ویژه ماتریس A شناخته می‌شوند.حالا برخی از ویژگی‌های مربوط به مقادیر ویژه وجود دارد و این ویژگی‌ها در زیر نوشته شده‌اند-

• هر ماتریس مربعی A و ترانسپوز آن At دارای مقادیر ویژه یکسان هستند.

• مجموع مقادیر ویژه هر ماتریس A برابر با اثر ماتریس A است.

• حاصلضرب مقادیر ویژه هر ماتریس A برابر با دترمینان ماتریس A است.

• اگر ما یک کمیت اسکالر را در ماتریس A ضرب کنیم، آنگاه مقادیر ویژه نیز با همان مقدار اسکالر ضرب می‌شوند.

• اگر ما ماتریس A را وارون کنیم، آنگاه مقادیر ویژه نیز وارون می‌شوند.

• اگر تمام عناصر ماتریس حقیقی باشند، آنگاه مقادیر ویژه متناظر با آن ماتریس یا حقیقی هستند یا به صورت جفت مزدوج مختلط وجود دارند.

حالا برای هر مقدار ویژه یک بردار ویژه وجود دارد، اگر شرط زیر را برآورده کند (ek × I – A)Pk = 0. که در آن، k = 1, 2, 3, ……..n.

ماتریس انتقال حالت و پاسخ حالت صفر

ما در اینجا علاقمند به به دست آوردن عبارات برای ماتریس انتقال حالت و پاسخ حالت صفر هستیم. دوباره با گرفتن معادلات حالت که در بالا به دست آورده‌ایم و گرفتن تبدیل لاپلاس آن‌ها داریم،

حالا با بازننویسی معادله فوق داریم

فرض کنید [sI-A] -1 = θ(s) و با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله فوق داریم

عبارت θ(t) به عنوان ماتریس انتقال حالت شناخته می‌شود.

L-1.θ(t)BU(s) = پاسخ حالت صفر.

حالا بیایید برخی از ویژگی‌های ماتریس انتقال حالت را بحث کنیم.

• اگر ما t = 0 را در معادله فوق جایگزین کنیم، آنگاه 1 خواهیم داشت. به طور ریاضی می‌توانیم بنویسیم θ(0) =1.

• اگر ما t = -t را در θ(t) جایگزین کنیم، آنگاه وارون θ(t) خواهیم داشت. به طور ریاضی می‌توانیم بنویسیم θ(-t) = [θ(t)]-1.

• ما نیز ویژگی مهم دیگری داریم [θ(t)]n = θ(nt).