რით არის სტატუსის სივრცის ანალიზი

რა არის სტატური სივრცის ანალიზი?

სტატური სივრცის ანალიზის განმარტება

კონტროლის სისტემების სტატური სივრცის ანალიზი არის მეთოდი შემთხვევითი და კომპლექსური სისტემების ანალიზისთვის დროის განმავლობაში მათი ქცევის აღსაწერად ცვლადების სიმრავლით.

სტატური სივრცის განტოლებები

დავიწყოთ სტატური სივრცის განტოლებების გამოყვანა სისტემისთვის, რომელიც წრფივია და დროთა ინვარიანტი.

დავიკვიროთ რამდენიმე შესავალს და რამდენიმე გამოსავალს მქონე სისტემა, რომელსაც აქვს r შესავალი და m გამოსავალი.

სადაც, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

და m = y1, y2 ……….. ym.

ახლა ჩვენ ვიღებთ n სტატურ ცვლადს სისტემის აღსაწერად, ანუ n = x1, x2, ……….. xn.

ასევე განვსაზღვროთ შესავალი და გამოსავალი ვექტორები როგორც,

შესავალი ვექტორების ტრანსპონირება,

სადაც, T არის მატრიცის ტრანსპონირება.

გამოსავალი ვექტორების ტრანსპონირება,

სადაც, T არის მატრიცის ტრანსპონირება.

სტატური ვექტორების ტრანსპონირება,

სადაც, T არის მატრიცის ტრანსპონირება.

ეს ცვლადები დაკავშირებულია განტოლებებით, რომლებიც შემდეგნაირად არიან დაწერილი და ცნობილია როგორც სტატური სივრცის განტოლებები

სტატური მოდელის წარმოდგენა ტრანსფერის ფუნქციის გამოყენებით

დეკომპოზიცია : ეს განიხილება როგორც პროცესი სტატური მოდელის მისაღებად მოცემული ტრანსფერის ფუნქციიდან. ახლა ჩვენ შეგვიძლია ტრანსფერის ფუნქციის დეკომპოზიცია სამი განსხვავებული გზით:

• დირექტული დეკომპოზიცია,

• კასკადური ან სერიული დეკომპოზიცია,

• პარალელური დეკომპოზიცია.

ყველა ზემოთ აღწერილ დეკომპოზიციის მეთოდში ჩვენ ჯერ გარდავქმნით მოცემულ ტრანსფერის ფუნქციას დიფერენციალურ განტოლებებად, რომლებსაც ასევე უწოდებენ დინამიკურ განტოლებებს. დიფერენციალურ განტოლებებში გარდაქმნის შემდეგ ჩვენ ვიღებთ შემდეგი განტოლების ლაპლასის ტრანსფორმაციის შებრუნებულ ლაპლასის ტრანსფორმაციას, შემდეგ დეკომპოზიციის ტიპის მიხედვით შეგვიძლია მოდელის შექმნა. ჩვენ შეგვიძლია ნებისმიერი ტიპის ტრანსფერის ფუნქციის წარმოდგენა სტატურ მოდელში. ჩვენ გვაქვს სხვადასხვა ტიპის მოდელები, როგორიცაა ელექტროტექნიკური მოდელი, მექანიკური მოდელი და ა.შ.

ტრანსფერის მატრიცის გამოსახულება A, B, C და D ვარიაბლებით. ჩვენ განვსაზღვრებთ ტრანსფერის მატრიცას როგორც გამოსავალის ლაპლასის ტრანსფორმაციას შესავალის ლაპლასის ტრანსფორმაციაზე.სტატური განტოლებების დაწერის შემდეგ და ამ ორი სტატური განტოლების ლაპლასის ტრანსფორმაციის გაკეთების შემდეგ (შესავალი პირობები ნულის ტოლი დაშვებით) ჩვენ გვაქვს

ჩვენ შეგვიძლია განტოლების დაწერა როგორც

სადაც, I არის ერთეულის მატრიცა

ახლა X(s)-ის მნიშვნელობის შემოსავლა Y(s)-ში და D = 0 (ნულოვანი მატრიცა) ჩვენ გვაქვს

მატრიცის შებრუნება შეგვიძლია ჩავსვათ მატრიცის ადჟუნგირებული და გაყოფილი მატრიცის დეტერმინანტზე, ახლა განტოლების ხელახალი დაწერის შემდეგ ჩვენ გვაქვს

|sI-A| ასევე ცნობილია როგორც ხარაქტერისტიკული განტოლება, როდესაც უდრის ნულს.

ეიგენ მნიშვნელობებისა და ეიგენ ვექტორების კონცეფცია

ხარაქტერისტიკული განტოლების ფესვები, რომლებიც ზემოთ აღწერილია, ცნობილია როგორც ეიგენ მნიშვნელობები ან მატრიცის A ეიგენ მნიშვნელობები.ახლა არის ზოგიერთი თვისება ეიგენ მნიშვნელობებთან დაკავშირებული და ეს თვისებები არიან შემდეგნაირად დაწერილი-

• ნებისმიერი კვადრატული მატრიცა A და მისი ტრანსპონირება At აქვს იგივე ეიგენ მნიშვნელობები.

• ნებისმიერი მატრიცის A ეიგენ მნიშვნელობების ჯამი ტოლია მატრიცის A ტრასის ტოლი.

• ნებისმიერი მატრიცის A ეიგენ მნიშვნელობების ნამრავლი ტოლია მატრიცის A დეტერმინანტის ტოლი.

• თუ ჩვენ ვამრავლებთ სკალარულ რიცხვს მატრიცას A-ს, მაშინ ეიგენ მნიშვნელობები ასევე ვამრავლებთ იმავე სკალარული რიცხვით.

• თუ ჩვენ ვინვლებთ მოცემულ მატრიცას A, მაშინ მისი ეიგენ მნიშვნელობები ასევე ინვერტირდება.

• თუ მატრიცის ყველა ელემენტი ნამდვილია, მაშინ მასთან დაკავშირებული ეიგენ მნიშვნელობები ან ნამდვილია ან არსებობს კომპლექსური კონიუგირებული წყვილებით.

ახლა არსებობს ერთი ეიგენ ვექტორი ერთი ეიგენ მნიშვნელობისთვის, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ პირობას (ek × I – A)Pk = 0. სადაც, k = 1, 2, 3, ……..n.

სტატური ტრანზიციის მატრიცა და ნულოვანი სიტუაციის პასუხი

ჩვენ ვენდიდებით სტატური ტრანზიციის მატრიცისა და ნულოვანი სიტუაციის პასუხის გამოსახულებების გამოყვანას. კიდევ ერთხელ ვიღებთ სტატურ განტოლებებს, რომლებიც ზემოთ გამოვიყვანეთ და ვიღებთ მათი ლაპლასის ტრანსფორმაციას

ახლა განტოლების ხელახალი დაწერის შემდეგ ჩვენ გვაქვს

დავუშვათ [sI-A] -1 = θ(s) და ლაპლასის ტრანსფორმაციის შებრუნებული გამოყვანის შემდეგ ჩვენ გვაქვს

გამოსახულება θ(t) ცნობილია როგორც სტატური ტრანზიციის მატრიცა.

L-1.θ(t)BU(s) = ნულოვანი სიტუაციის პასუხი.

ახლა დავისვით რამდენიმე სტატური ტრანზიციის მატრიცის თვისება.

• თუ ჩვენ ჩავსვამთ t = 0 შემდეგ განტოლებაში, ჩვენ მივიღ