Què és l'anàlisi de l'espai d'estats?
Què és l'Anàlisi de l'Estat?
Definició d'Anàlisi de l'Estat
L'anàlisi de l'estat dels sistemes de control és un mètode per analitzar tant sistemes simples com complexos utilitzant un conjunt de variables per descriure el seu comportament a lo llarg del temps.
Equacions de l'Estat
Derivem les equacions de l'estat per al sistema que és lineal i invariable en el temps.
Considerem un sistema amb múltiples entrades i múltiples sortides que té r entrades i m sortides.
On, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
I m = y1, y2 ……….. ym.
Ara prenem n variables d'estat per descriure el sistema donat, per tant n = x1, x2, ……….. xn.
També definim els vectors d'entrada i sortida com,
Transposat dels vectors d'entrada,
On, T és el transposat de la matriu.
Transposat dels vectors de sortida,
On, T és el transposat de la matriu.
Transposat dels vectors d'estat,
On, T és el transposat de la matriu.
Aquestes variables estan relacionades per un conjunt d'equacions que s'escriuen a continuació i són conegudes com a equacions de l'estat.
Representació del Model d'Estat utilitzant la Funció de Transferència
Descomposició : Es defineix com el procés d'obtenir el model d'estat a partir de la funció de transferència donada. Ara podem descompondre la funció de transferència utilitzant tres mètodes diferents:
Descomposició directa,
Descomposició en cascada o en sèrie,
Descomposició paral·lela.
En tots aquests mètodes de descomposició, primer convertim la funció de transferència donada en equacions diferencials, també anomenades equacions dinàmiques. Després de convertir-les en equacions diferencials, prenem la transformada inversa de Laplace de l'equació anterior i, segons el tipus de descomposició, podem crear el model. Podem representar qualsevol tipus de funció de transferència en el model d'estat. Tenim diversos tipus de models com el model elèctric, el model mecànic, etc.
Expressió de la Matriu de Transferència en termes d'A, B, C i D. Definim la matriu de transferència com la transformada de Laplace de la sortida a la transformada de Laplace de l'entrada.Escrivint de nou les equacions d'estat i prenent la transformada de Laplace de totes dues equacions d'estat (assumint condicions inicials iguals a zero) tenim
Podem escriure l'equació com
On, I és una matriu identitat
Ara substituint el valor de X(s) a l'equació Y(s) i posant D = 0 (és a dir, és una matriu nul·la) tenim
La inversa de la matriu es pot substituir pel adjunt de la matriu dividit per el determinant de la matriu, ara reescribint l'expressió tenim
|sI-A| també és conegut com a equació característica quan s'equaciona a zero.
Concepte de Valors Propis i Vectors Propis
Les arrels de l'equació característica que hem descrit anteriorment són conegudes com a valors propis o valors propis de la matriu A.Ara hi ha algunes propietats relacionades amb els valors propis i aquestes propietats s'escriuen a continuació-
Qualsevol matriu quadrada A i la seva transposada At tenen els mateixos valors propis.
La suma dels valors propis de qualsevol matriu A és igual a la traça de la matriu A.
El producte dels valors propis de qualsevol matriu A és igual al determinant de la matriu A.
Si multipliquem una quantitat escalar a la matriu A, els valors propis també es multipliquen pel mateix valor escalar.
Si invertim la matriu A donada, els seus valors propis també es fan inversos.
Si tots els elements de la matriu són reals, els valors propis corresponents a aquesta matriu són o bé reals o existeixen en parells conjugats complexos.
Ara existeix un vector propi corresponent a un valor propi, si compleix la següent condició (ek × I – A)Pk = 0. On, k = 1, 2, 3, ……..n.
Matriu de Transició d'Estat i Resposta en Estat Zero
Aquí estem interessats en derivar les expressions per a la matriu de transició d'estat i la resposta en estat zero. Tornant a prendre les equacions d'estat que hem derivat anteriorment i prenent-ne la transformada de Laplace, tenim,
Ara, reescribint l'equació anterior, tenim
Sigui [sI-A] -1 = θ(s) i prenent la transformada inversa de Laplace de l'equació anterior, tenim
L'expressió θ(t) és coneguda com a matriu de transició d'estat.
L-1.θ(t)BU(s) = resposta en estat zero.
Ara, discutim algunes de les propietats de la matriu de transició d'estat.
Si substituïm t = 0 a l'equació anterior, obtindrem 1. Matemàticament, podem escriure θ(0) =1.
Si substituïm t = -t a θ(t), obtindrem l'invers de θ(t). Matemàticament, podem escriure θ(-t) = [θ(t)]-1.
També tenim una altra propietat important [θ(t)]n = θ(nt).
