O que é Análise de Espaço de Estados?

O que é Análise de Espaço de Estados?

Definição de Análise de Espaço de Estados

A análise de espaço de estados de sistemas de controle é um método para analisar tanto sistemas simples quanto complexos usando um conjunto de variáveis para descrever seu comportamento ao longo do tempo.

Equações de Espaço de Estados

Vamos derivar as equações de espaço de estados para o sistema que é linear e invariante no tempo.

Consideremos um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas, que tem r entradas e m saídas.

Onde, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

E m = y1, y2 ……….. ym.

Agora estamos tomando n variáveis de estado para descrever o sistema dado, portanto n = x1, x2, ……….. xn.

Também definimos os vetores de entrada e saída como,

Transposta dos vetores de entrada,

Onde, T é a transposta da matriz.

Transposta dos vetores de saída,

Onde, T é a transposta da matriz.

Transposta dos vetores de estado,

Onde, T é a transposta da matriz.

Essas variáveis estão relacionadas por um conjunto de equações que são escritas abaixo e são conhecidas como equações de espaço de estados.

Representação do Modelo de Estado usando Função de Transferência

Decomposição: É definida como o processo de obter o modelo de estado a partir da função de transferência dada. Agora podemos decompor a função de transferência de três maneiras diferentes:

• Decomposição direta,

• Decomposição em cascata ou série,

• Decomposição paralela.

Em todos os métodos de decomposição acima, primeiro convertemos a função de transferência dada em equações diferenciais, também chamadas de equações dinâmicas. Após a conversão em equações diferenciais, tomamos a transformada inversa de Laplace da equação acima, então, conforme o tipo de decomposição, podemos criar o modelo. Podemos representar qualquer tipo de função de transferência no modelo de estado. Temos vários tipos de modelos, como modelo elétrico, modelo mecânico, etc.

Expressão da Matriz de Transferência em termos de A, B, C e D. Definimos a matriz de transferência como a transformada de Laplace da saída para a transformada de Laplace da entrada.Ao escrever novamente as equações de estado e tomar a transformada de Laplace de ambas as equações de estado (assumindo condições iniciais iguais a zero), temos

Podemos escrever a equação como

Onde, I é uma matriz identidade

Agora, substituindo o valor de X(s) na equação Y(s) e colocando D = 0 (ou seja, é uma matriz nula), temos

A inversa da matriz pode ser substituída pelo adjunto da matriz dividido pelo determinante da matriz, agora, reescrevendo a expressão, temos de

|sI-A| também é conhecido como equação característica quando igualado a zero.

Conceito de Valores Próprios e Vetores Próprios

As raízes da equação característica que descrevemos acima são conhecidas como valores próprios ou autovalores da matriz A.Agora existem algumas propriedades relacionadas aos valores próprios e essas propriedades são escritas abaixo:

• Qualquer matriz quadrada A e sua transposta At têm os mesmos valores próprios.

• A soma dos valores próprios de qualquer matriz A é igual ao traço da matriz A.

• O produto dos valores próprios de qualquer matriz A é igual ao determinante da matriz A.

• Se multiplicarmos uma quantidade escalar pela matriz A, então os valores próprios também serão multiplicados pelo mesmo valor escalar.

• Se invertermos a matriz A dada, seus valores próprios também serão invertidos.

• Se todos os elementos da matriz forem reais, então os valores próprios correspondentes a essa matriz são ou reais ou existem em pares conjugados complexos.

Agora existe um vetor próprio correspondente a um valor próprio, se ele satisfizer a seguinte condição (ek × I – A)Pk = 0. Onde, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matriz de Transição de Estado e Resposta de Estado Zero

Estamos interessados aqui em derivar as expressões para a matriz de transição de estado e a resposta de estado zero. Novamente, tomando as equações de estado que derivamos acima e tomando suas transformadas de Laplace, temos,

Agora, reescrevendo a equação acima, temos

Seja [sI-A] -1 = θ(s) e tomando a transformada inversa de Laplace da equação acima, temos

A expressão θ(t) é conhecida como matriz de transição de estado.

L-1.θ(t)BU(s) = resposta de estado zero.

Agora, vamos discutir algumas das propriedades da matriz de transição de estado.

• Se substituirmos t = 0 na equação acima, obteremos 1. Matematicamente, podemos escrever θ(0) =1.

• Se substituirmos t = -t em θ(t), obteremos a inversa de θ(t). Matematicamente, podemos escrever θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Também temos outra propriedade importante [θ(t)]n = θ(nt).