Qu'est-ce que l'analyse de l'espace d'état ?

Qu'est-ce que l'analyse de l'espace d'état ?

Définition de l'analyse de l'espace d'état

L'analyse de l'espace d'état des systèmes de contrôle est une méthode pour analyser à la fois des systèmes simples et complexes en utilisant un ensemble de variables pour décrire leur comportement au fil du temps.

Équations de l'espace d'état

Dérivons les équations de l'espace d'état pour le système qui est linéaire et invariant dans le temps.

Considérons un système avec plusieurs entrées et plusieurs sorties, qui a r entrées et m sorties.

Où, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Et m = y1, y2 ……….. ym.

Maintenant, nous prenons n variables d'état pour décrire le système donné, donc n = x1, x2, ……….. xn.

Nous définissons également les vecteurs d'entrée et de sortie comme suit,

Transposée des vecteurs d'entrée,

Où, T est la transposée de la matrice.

Transposée des vecteurs de sortie,

Où, T est la transposée de la matrice.

Transposée des vecteurs d'état,

Où, T est la transposée de la matrice.

Ces variables sont liées par un ensemble d'équations écrites ci-dessous et connues sous le nom d'équations de l'espace d'état.

Représentation du modèle d'état à l'aide de la fonction de transfert

Décomposition : Elle est définie comme le processus d'obtention du modèle d'état à partir de la fonction de transfert donnée. Nous pouvons maintenant décomposer la fonction de transfert de trois manières différentes :

• Décomposition directe,

• Décomposition en cascade ou en série,

• Décomposition parallèle.

Dans toutes ces méthodes de décomposition, nous convertissons d'abord la fonction de transfert donnée en équations différentielles, également appelées équations dynamiques. Après la conversion en équations différentielles, nous prenons la transformée de Laplace inverse de l'équation ci-dessus, puis, selon le type de décomposition, nous pouvons créer le modèle. Nous pouvons représenter n'importe quel type de fonction de transfert dans un modèle d'état. Nous avons divers types de modèles tels que le modèle électrique, le modèle mécanique, etc.

Expression de la matrice de transfert en termes de A, B, C et D. Nous définissons la matrice de transfert comme la transformée de Laplace de la sortie par rapport à la transformée de Laplace de l'entrée.En réécrivant les équations d'état et en prenant la transformée de Laplace de chaque équation d'état (en supposant que les conditions initiales sont nulles), nous avons

Nous pouvons écrire l'équation comme

Où, I est une matrice identité.

En substituant la valeur de X(s) dans l'équation Y(s) et en posant D = 0 (ce qui signifie qu'il s'agit d'une matrice nulle), nous avons

L'inverse de la matrice peut être remplacé par le complément adjoint de la matrice divisé par le déterminant de la matrice. En réécrivant l'expression, nous obtenons

|sI-A| est également connu sous le nom d'équation caractéristique lorsqu'elle est égale à zéro.

Concept des valeurs propres et des vecteurs propres

Les racines de l'équation caractéristique que nous avons décrite ci-dessus sont connues sous le nom de valeurs propres ou valeurs propres de la matrice A.Il existe certaines propriétés liées aux valeurs propres, et ces propriétés sont énumérées ci-dessous :

• Toute matrice carrée A et sa transposée At ont les mêmes valeurs propres.

• La somme des valeurs propres de toute matrice A est égale à la trace de la matrice A.

• Le produit des valeurs propres de toute matrice A est égal au déterminant de la matrice A.

• Si nous multiplions une quantité scalaire par la matrice A, alors les valeurs propres sont également multipliées par la même valeur scalaire.

• Si nous inversons la matrice A donnée, ses valeurs propres sont également inversées.

• Si tous les éléments de la matrice sont réels, alors les valeurs propres correspondantes à cette matrice sont soit réelles, soit existent en paires conjuguées complexes.

Il existe un vecteur propre correspondant à chaque valeur propre, s'il satisfait la condition suivante (ek × I – A)Pk = 0. Où, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matrice de transition d'état et réponse à l'état zéro

Nous sommes ici intéressés à dériver les expressions pour la matrice de transition d'état et la réponse à l'état zéro. En reprenant les équations d'état que nous avons dérivées ci-dessus et en prenant leur transformation de Laplace, nous avons,

En réécrivant l'équation ci-dessus, nous obtenons

Posons [sI-A] -1 = θ(s) et prenons la transformée de Laplace inverse de l'équation ci-dessus, nous avons

L'expression θ(t) est connue sous le nom de matrice de transition d'état.

L-1.θ(t)BU(s) = réponse à l'état zéro.

Discutons maintenant de certaines propriétés de la matrice de transition d'état.

• Si nous substituons t = 0 dans l'équation ci-dessus, nous obtiendrons 1. Mathématiquement, nous pouvons écrire θ(0) = 1.

• Si nous substituons t = -t dans θ(t), nous obtiendrons l'inverse de θ(t). Mathématiquement, nous pouvons écrire θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Nous avons également une autre propriété importante [θ(t)]n = θ(nt).