Kio estas Spaco-Ŝtata Analizo?

Kio estas Spaco-Ŝtata Analizo?

Difino de Spaco-Ŝtata Analizo

Spaco-ŝtata analizo de regisistemoj estas metodo por analizi ambaŭ simplajn kaj kompleksajn sistemojn uzante aron de variabloj por priskribi ilian konduton dum tempo.

Spaco-Ŝtataj Ekvacioj

Let ni derivu spaco-ŝtatajn ekvaciojn por la sistemo, kiu estas lineara kaj tempinvarianta.

Konsideru sistemon kun multoblaj enigoj kaj multoblaj eligoj, kiu havas r enigojn kaj m eligojn.

Kie, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Kaj m = y1, y2 ……….. ym.

Nun ni prenas n ŝtatajn variablojn por priskribi la donitan sistemon, do n = x1, x2, ……….. xn.

Ankaŭ ni difinas enigajn kaj eligajn vektorojn kiel,

Transpono de enigaj vektoroj,

Kie, T estas transpono de la matro.

Transpono de eligaj vektoroj,

Kie, T estas transpono de la matro.

Transpono de ŝtatvektoroj,

Kie, T estas transpono de la matro.

Ĉi tiuj variabloj estas rilatitaj per aro de ekvacioj, kiuj estas skribitaj sube kaj estas konataj kiel spaco-ŝtataj ekvacioj.

Prezentado de Ŝtata Modelo uzanta Transmitan Funkcion

Decompozicio: Ĝi estas difinita kiel procezo de akirado de la ŝtata modelo el la donita transmita funkcio. Nun ni povas dismeti la transmitan funkcion uzante tri malsamajn manierojn:

• Direkta decompozicio,

• Kaskada aŭ seria decompozicio,

• Paralela decompozicio.

En ĉiuj supraj metodoj de decompozicio ni unue konvertas la donitan transmitan funkcion en diferencialajn ekvaciojn, kiuj ankaŭ estas nomitaj dinamikaj ekvacioj. Post konverto en diferencialajn ekvaciojn ni prenos inversan Laplacen transformon de la supra ekvacio, tiam laŭ la tipo de decompozicio ni povas krei modelon. Ni povas reprezenti ajnan tipon de transmitan funkcion en ŝtata modelo. Ni havas diversajn tipojn de modelo, kiel elektra modelo, mekanika modelo ktp.

Esprimo de Transmita Matro en terminoj de A, B, C kaj D. Ni difinas la transmitan matron kiel Laplacan transformon de la eligo al la Laplacan transformon de la enigo.Skribante la ŝtatajn ekvaciojn denove kaj prenante la Laplacan transformon de ambaŭ ŝtataj ekvacioj (presupozante ke la komencaj kondiĉoj egalas al nul) ni havas

Ni povas skribi la ekvacion kiel

Kie, I estas identa matro.

Nun substitebla la valoro de X(s) en la ekvacio Y(s) kaj metanta D = 0 (signifas ke ĝi estas nula matro) ni havas

Inverso de matro povas esti anstataŭigita per adj de matro dividita per la determinanto de la matro, nun reskribante la esprimon ni havas de

|sI-A| estas ankaŭ konata kiel karakteriza ekvacio kiam ĝi estas egaligita al nul.

Koncepto de Eigen Valoroj kaj Eigen Vektoroj

La radikoj de la karakteriza ekvacio, kiun ni priskribis supre, estas konataj kiel eigen valoroj aŭ eigen valoroj de matro A.Nun estas iuj ecoj rilatitaj al eigen valoroj kaj ĉi tiuj ecoj estas skribitaj sube-

• Ĉiu kvadrata matro A kaj ĝia transpono At havas la samajn eigen valorojn.

• Sumo de eigen valoroj de ĉiu matro A egalas al la spuro de la matro A.

• Produkto de la eigen valoroj de ĉiu matro A egalas al la determinanto de la matro A.

• Se ni multiplikas skalaran kvanton al matro A, tiam la eigen valoroj ankaŭ estas multiplikitaj per la sama valoro de skalaro.

• Se ni inversas la donitan matron A, tiam ĝiaj eigen valoroj ankaŭ estas inversigitaj.

• Se ĉiuj elementoj de la matro estas reelaj, tiam la eigen valoroj rilatitaj al tiu matro estas aŭ reelaj aŭ ekzistas en komplekskonjugita paro.

Nun ekzistas unu eigen vektoro rilatita al unu Eigen valoro, se ĝi kontentigas la jenan kondiĉon (ek × I – A)Pk = 0. Kie, k = 1, 2, 3, ……..n.

Ŝtata Transira Matro kaj Nulŝtata Respondo

Ni interesas niĝi en derivado de esprimoj por la ŝtata transira matro kaj nulŝtata respondo. Denove prenante la ŝtatajn ekvaciojn, kiujn ni derivis supre, kaj prenante ilian Laplacan transformon, ni havas,

Nun reskribante la supran ekvacion ni havas

Lasu [sI-A] -1 = θ(s) kaj prenante la inversan Laplacan transformon de la supra ekvacio ni havas

La esprimo θ(t) estas konata kiel ŝtata transira matro.

L-1.θ(t)BU(s) = nulŝtata respondo.

Nun lasu nin diskuti kelkajn ecojn de la ŝtata transira matro.

• Se ni substiteblas t = 0 en la supra ekvacio, tiam ni ricevos 1. Matematike ni povas skribi θ(0) =1.

• Se ni substiteblas t = -t en la θ(t), tiam ni ricevos inverson de θ(t). Matematike ni povas skribi θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Ni ankaŭ havas alian gravan econ [θ(t)]n = θ(nt).