Durum Uzayı Analizi Nedir?
Durum Uzayı Analizi Nedir?
Durum Uzayı Analizi Tanımı
Kontrol sistemlerinin durum uzayı analizi, basit ve karmaşık sistemleri bir dizi değişken kullanarak zaman içinde davranışlarını tanımlamak için kullanılan bir yöntemdir.
Durum Uzayı Denklemleri
Linear ve zamanla değişmeyen (ZD) bir sistemin durum uzayı denklemlerini türetelim.
r girdi ve m çıkışa sahip çoklu girdi-çıkış sistemini ele alalım.
Burada, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Ve m = y1, y2 ……….. ym.
Şimdi, verilen sistem için n durum değişkeni kullanıyoruz, bu nedenle n = x1, x2, ……….. xn.
Ayrıca, giriş ve çıkış vektörlerini şu şekilde tanımlarız,
Giriş vektörlerinin transpozu,
Burada, T matrisin transpozudur.
Çıkış vektörlerinin transpozu,
Burada, T matrisin transpozudur.
Durum vektörlerinin transpozu,
Burada, T matrisin transpozudur.
Bu değişkenler, aşağıdaki durum uzayı denklemleri ile ilişkilidir:
Transfer Fonksiyonu Kullanılarak Durum Modelinin Gösterimi
Ayrıştırma : Bu, verilen transfer fonksiyonundan durum modelinin elde edilmesi süreci olarak tanımlanır. Şimdi, transfer fonksiyonunu üç farklı yolla ayrıştırabiliriz:
Doğrudan ayrıştırma,
Kademeli veya seri ayrıştırma,
Paralel ayrıştırma.
Yukarıda belirtilen tüm ayrıştırma yöntemlerinde, önce verilen transfer fonksiyonunu diferansiyel denklemlere dönüştürürüz, bu da dinamik denklemler olarak adlandırılır. Diferansiyel denklemlere dönüştürdükten sonra yukarıdaki denklemin ters Laplace dönüşümünü alırız, ardından ayrıştırma türüne göre model oluşturabiliriz. Herhangi bir tür transfer fonksiyonunu durum modelinde temsil edebiliriz. Elektriksel model, mekanik model gibi çeşitli türde modelimiz vardır.
Transfer Matrisinin A, B, C ve D Terimleriyle İfade Edilmesi. Transfer matrisini, çıkışın Laplace dönüşümünün girişin Laplace dönüşümüne oranı olarak tanımlarız.Durum denklemlerini tekrar yazıp her iki durum denkleminin Laplace dönüşümünü alarak (başlangıç koşullarının sıfır olduğu varsayımına dayanarak) elde ederiz:
Denklemi şu şekilde yazabiliriz:
Burada, I birim matristir.
Şimdi X(s) değerini Y(s) denkleminde yerine koyarak ve D = 0 (yani boş matris olduğunu varsayarak) elde ederiz:
Matrisin tersini, matrisin eşlenikinin determinantına bölerek bulabiliriz, şimdi ifadeyi yeniden yazarsak:
|sI-A|, sıfıra eşit olduğunda karakteristik denklem olarak bilinir.
Özdeğer ve Özvektör Kavramı
Yukarıda tanımladığımız karakteristik denklemin kökleri, A matrisinin özdeğerleri veya özdeğerleri olarak bilinir.Şimdi, özdeğerlerle ilgili bazı özellikler var ve bu özellikler aşağıda yazılıdır:
Herhangi bir kare matris A ve onun transpozu At aynı özdeğerlere sahiptir.
Herhangi bir matris A'nın özdeğerlerinin toplamı, matris A'nın izine eşittir.
Herhangi bir matris A'nın özdeğerlerinin çarpımı, matris A'nın determinantına eşittir.
Bir skaler miktarı matris A'ya çarptığımızda, özdeğerler de aynı skaler değeriyle çarpılır.
Verilen matris A'nın tersini aldığımızda, özdeğerler de ters alınır.
Eğer matrisin tüm elemanları gerçek ise, o matrise karşılık gelen özdeğerler ya gerçek olur ya da karmaşık eşlenik çift halindedir.
Şimdi, her özdeğer için bir özvektör vardır, eğer aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (ek × I – A)Pk = 0. Burada, k = 1, 2, 3, ……..n.
Durum Geçişi Matrisi ve Sıfır Durum Yanıtı
Burada, durum geçiş matrisi ve sıfır durum yanıtı ifadelerinin elde edilmesiyle ilgileniyoruz. Yukarıda türettiğimiz durum denklemlerini tekrar alarak ve Laplace dönüşümünü alarak elde ederiz:
Şimdi yukarıdaki denklemi yeniden yazarsak:
[sI-A] -1 = θ(s) olsun ve yukarıdaki denklemin ters Laplace dönüşümünü alalım:
θ(t) ifadesi, durum geçiş matrisi olarak bilinir.
L-1.θ(t)BU(s) = sıfır durum yanıtı.
Şimdi, durum geçiş matrisinin bazı özelliklerini tartışalım.
Yukarıdaki denklemde t = 0 değerini yerine koyduğumuzda 1 elde ederiz. Matematiksel olarak θ(0) = 1 olarak yazabiliriz.
θ(t) içinde t = -t değerini yerine koyduğumuzda, θ(t) 'nin tersini elde ederiz. Matematiksel olarak θ(-t) = [θ(t)]-1 olarak yazabiliriz.
Ayrıca, [θ(t)]n = θ(nt) başka bir önemli özelliğimizdir.
