Wat is State Space Analyse?

Wat is State Space Analyse?

Definitie van State Space Analyse

State space analyse van besturingssystemen is een methode om zowel eenvoudige als complexe systemen te analyseren met behulp van een set variabelen om hun gedrag over de tijd te beschrijven.

State Space Vergelijkingen

Laten we state space vergelijkingen afleiden voor het systeem dat lineair en tijdsinvariant is.

Laten we een systeem met meerdere ingangen en meerdere uitgangen overwegen, dat r ingangen en m uitgangen heeft.

Waarbij, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

En m = y1, y2 ……….. ym.

Nu nemen we n toestandsvariabelen om het gegeven systeem te beschrijven, dus n = x1, x2, ……….. xn.

We definiëren ook de ingangs- en uitgangsvector als,

Getransponeerde van ingangsvector,

Waarbij, T de getransponeerde matrix is.

Getransponeerde van uitgangsvector,

Waarbij, T de getransponeerde matrix is.

Getransponeerde van toestandsvector,

Waarbij, T de getransponeerde matrix is.

Deze variabelen zijn gerelateerd door een set vergelijkingen die hieronder geschreven staan en bekend staan als state space vergelijkingen.

Representatie van Toestandsmodel met behulp van Overdrachtsfunctie

Decompositie : Dit wordt gedefinieerd als het proces van het verkrijgen van het toestandsmodel uit de gegeven overdrachtsfunctie. Nu kunnen we de overdrachtsfunctie decomponeren op drie verschillende manieren:

• Directe decompositie,

• Cascade of serie decompositie,

• Parallelle decompositie.

In alle bovengenoemde decompositiemethoden converteren we eerst de gegeven overdrachtsfunctie in differentiaalvergelijkingen, ook wel dynamische vergelijkingen genoemd. Na het converteren naar differentiaalvergelijkingen nemen we de inverse Laplace-transformatie van de bovenstaande vergelijking, waarna we volgens het type decompositie een model kunnen maken. We kunnen elk type overdrachtsfunctie in een toestandsmodel weergeven. We hebben verschillende types modellen zoals elektrisch model, mechanisch model, enz.

Expressie van Overdrachtsmatrix in termen van A, B, C en D. We definiëren de overdrachtsmatrix als de Laplace-transformatie van de uitgang ten opzichte van de Laplace-transformatie van de ingang.Bij het opnieuw schrijven van de toestandsvergelijkingen en het nemen van de Laplace-transformatie van beide toestandsvergelijkingen (met de aanname dat de beginvoorwaarden gelijk zijn aan nul) hebben we

We kunnen de vergelijking schrijven als

Waarbij, I een identiteitsmatrix is

Nu substitueren we de waarde van X(s) in de vergelijking Y(s) en stellen D = 0 (wat betekent dat het een nulmatrix is), dan hebben we

De inverse van de matrix kan worden vervangen door de adjungate van de matrix gedeeld door de determinant van de matrix, nu herschrijven we de expressie als

|sI-A| staat ook bekend als karakteristieke vergelijking wanneer deze gelijkgesteld wordt aan nul.

Concept van Eigenwaarden en Eigenvectoren

De wortels van de karakteristieke vergelijking die we hierboven hebben beschreven, staan bekend als eigenwaarden of eigenvectoren van matrix A.Nu zijn er enkele eigenschappen die verband houden met eigenwaarden en deze eigenschappen staan hieronder:

• Elke vierkante matrix A en haar getransponeerde At hebben dezelfde eigenwaarden.

• De som van de eigenwaarden van elke matrix A is gelijk aan de spoor van de matrix A.

• Het product van de eigenwaarden van elke matrix A is gelijk aan de determinant van de matrix A.

• Als we een scalaire hoeveelheid vermenigvuldigen met matrix A, dan worden de eigenwaarden ook vermenigvuldigd met dezelfde waarde van de scalair.

• Als we de gegeven matrix A inverteren, dan worden de eigenwaarden ook geïnverteerd.

• Als alle elementen van de matrix reëel zijn, dan zijn de bijbehorende eigenwaarden ofwel reëel of bestaan in complex geconjugeerde paren.

Er bestaat één eigenvector die correspondeert met één eigenwaarde, als deze de volgende voorwaarde voldoet (ek × I – A)Pk = 0. Waarbij, k = 1, 2, 3, ……..n.

Toestandsovergangsmatrix en Nultoestand Reactie

We zijn hier geïnteresseerd in het afleiden van de expressies voor de toestandsovergangsmatrix en de nultoestand reactie. Opnieuw nemen we de toestandsvergelijkingen die we hierboven hebben afgeleid en nemen hun Laplace-transformatie, dan hebben we,

Nu herschrijven we de bovenstaande vergelijking als

Laat [sI-A] -1 = θ(s) en neem de inverse Laplace van de bovenstaande vergelijking, dan hebben we

De expressie θ(t) staat bekend als toestandsovergangsmatrix.

L-1.θ(t)BU(s) = nultoestand reactie.

Laten we nu enkele eigenschappen van de toestandsovergangsmatrix bespreken.

• Als we t = 0 substitueren in de bovenstaande vergelijking, krijgen we 1. Wiskundig kunnen we dit schrijven als θ(0) =1.

• Als we t = -t substitueren in θ(t), krijgen we de inverse van θ(t). Wiskundig kunnen we dit schrijven als θ(-t) = [θ(t)]-1.

• We hebben ook een andere belangrijke eigenschap [θ(t)]n = θ(nt).