ریاست فضا تجزیہ کیا ہے؟
ریاضیات فضا کیا ہے؟
ریاضیات فضا کی تعریف
کنٹرول سسٹم کی ریاضیات فضا کا مطالعہ ایک طریقہ ہے جس میں ایک متغیر کے مجموعہ کو استعمال کرتے ہوئے وقت کے ساتھ ان کے مسلک کی وضاحت کی جاتی ہے۔
ریاضیات فضا کے مساوات
چلو ہم لکیری اور وقت کے لحاظ سے نا متغیر نظام کے لئے ریاضیات فضا کی مساوات بنائیں۔
چلو ہم کئی آپریشنز اور کئی آؤٹ پٹ کے نظام کو دیکھیں جس میں r آپریشنز اور m آؤٹ پٹ ہیں۔
جہاں، r = u1, u2, u3 ……….. ur.
اور m = y1, y2 ……….. ym.
اب ہم n ریاضیات فضا کے متغیر کو استعمال کرتے ہوئے دیے گئے نظام کی وضاحت کریں گے، لہذا n = x1, x2, ……….. xn.
ہم آپریشن اور آؤٹ پٹ کے ویکٹرز کو بھی تعریف کرتے ہیں،
آپریشن کے ویکٹرز کا ترانسپوز،
جہاں، T میٹرکس کا ترانسپوز ہے۔
آؤٹ پٹ کے ویکٹرز کا ترانسپوز،
جہاں، T میٹرکس کا ترانسپوز ہے۔
ریاضیات فضا کے ویکٹرز کا ترانسپوز،
جہاں، T میٹرکس کا ترانسپوز ہے۔
ان متغیرات کو نیچے لکھی گئی مساوات سے مربوط کیا جاتا ہے جو ریاضیات فضا کی مساوات کے نام سے جانی جاتی ہیں۔
ٹرانسفر فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے ریاضیات فضا کا مدل
ڈیکمپوزیشن : یہ ٹرانسفر فنکشن سے ریاضیات فضا کا مدل حاصل کرنے کا عمل ہے۔ اب ہم تین مختلف طریقوں سے ٹرانسفر فنکشن کو ڈیکمپوز کر سکتے ہیں:
مستقیم ڈیکمپوزیشن،
کیسکیڈ یا سلسلہ وار ڈیکمپوزیشن،
متوازی ڈیکمپوزیشن۔
اس تمام ڈیکمپوزیشن کے طریقوں میں ہم پہلے دیے گئے ٹرانسفر فنکشن کو تفریقی مساوات میں تبدیل کرتے ہیں جو کہ پوائنٹ فنکشن کے نام سے بھی جانی جاتی ہیں۔ تفریقی مساوات میں تبدیل کرنے کے بعد ہم اوپر کی مساوات کا لاپلاس ترانس فارم لیتے ہیں تو متعلقہ ڈیکمپوزیشن کے قسم کے مطابق ہم مدل بناسکتے ہیں۔ ہم کسی بھی قسم کے ٹرانسفر فنکشن کو ریاضیات فضا کا مدل کے طور پر ظاہر کر سکتے ہیں۔ ہمیں مختلف قسم کے مدل ہوتے ہیں جیسے الیکٹرکل مدل، مکینکل مدل وغیرہ۔
ٹرانسفر میٹرکس کا اظہار A, B, C اور D کے مطابق۔ ہم ٹرانسفر میٹرکس کو آپریشن کے لاپلاس ترانس فارم کے آؤٹ پٹ کے لاپلاس ترانس فارم کے طور پر تعریف کرتے ہیں۔دوبارہ ریاضیات فضا کی مساوات لکھتے ہوئے اور دونوں ریاضیات فضا کی مساوات کا لاپلاس ترانس فارم لیتے ہوئے (اگر ابتدائی شرائط صفر ہوں) ہم کو ملتا ہے۔
ہم مساوات کو یوں لکھ سکتے ہیں
جہاں، I شناخت میٹرکس ہے۔
اب X(s) کی قدر کو مساوات Y(s) میں ڈال کر اور D = 0 (معنی یہ ہے کہ یہ خالی میٹرکس ہے) رکھتے ہوئے ہم کو ملتا ہے۔
میٹرکس کا انسٹرویس میٹرکس کے ایڈج کو میٹرکس کے ڈیٹرمننٹ سے تقسیم کرتے ہوئے تعویض کیا جا سکتا ہے، اب ایکسپریشن کو دوبارہ لکھتے ہوئے ہم کو ملتا ہے۔
|sI-A| کو خصوصی مساوات کہا جاتا ہے جب اسے صفر کے برابر رکھا جائے۔
ایجن ولیوز اور ایجن ویکٹرز کا مفہوم
ہم نے اوپر بیان کی گئی خصوصی مساوات کے ریشے کو ایجن ولیوز یا میٹرکس A کے ایجن ولیوز کہا جاتا ہے۔اب ایجن ولیوز سے متعلق کچھ خصوصیات ہیں جو نیچے لکھی گئی ہیں-
کسی بھی مربع میٹرکس A اور اس کا ترانسپوز At کے ایجن ولیوز ایک ہی ہوتے ہیں۔
کسی بھی میٹرکس A کے ایجن ولیوز کا مجموعہ میٹرکس A کے ٹریس کے برابر ہوتا ہے۔
کسی بھی میٹرکس A کے ایجن ولیوز کا ضرب میٹرکس A کے ڈیٹرمننٹ کے برابر ہوتا ہے۔
اگر ہم کسی اسکیلر کو میٹرکس A سے ضرب دیں تو ایجن ولیوز بھی اسی اسکیلر کی قدر سے ضرب ہو جاتے ہیں۔
اگر ہم دیئے گئے میٹرکس A کو انسٹرویس کریں تو اس کے ایجن ولیوز بھی انسٹرویس ہو جاتے ہیں۔
اگر میٹرکس کے تمام عناصر حقیقی ہوں تو اس میٹرکس کے متعلقہ ایجن ولیوز حقیقی ہوتے ہیں یا مركب کونجوگیٹ جوڑے میں موجود ہوتے ہیں۔
اب ہر ایجن ولیو کے لئے ایک ایجن ویکٹر موجود ہوتا ہے، اگر یہ درج ذیل شرائط کو پورا کرتا ہے (ek × I – A)Pk = 0۔ جہاں، k = 1, 2, 3, ……..n۔
ریاضیات فضا کا ٹرانزیشن میٹرکس اور زیرو سٹیٹ ریسپانس
ہم یہاں ریاضیات فضا کا ٹرانزیشن میٹرکس اور زیرو سٹیٹ ریسپانس کے اظہار کو نکالنے میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ پھر سے اوپر کی ریاضیات فضا کی مساوات لے کر اور ان کا لاپلاس ترانس فارم لیتے ہوئے ہم کو ملتا ہے،
اب اوپر کی مساوات کو دوبارہ لکھتے ہوئے ہم کو ملتا ہے
چلو [sI-A] -1 = θ(s) اور اوپر کی مساوات کا لاپلاس ترانس فارم لیتے ہوئے ہم کو ملتا ہے۔
ایکسپریشن θ(t) کو ریاضیات فضا کا ٹرانزیشن میٹرکس کہا جاتا ہے۔
L-1.θ(t)BU(s) = زیرو سٹیٹ ریسپانس۔
اب ہم ریاضیات فضا کا ٹرانزیشن میٹرکس کی کچھ خصوصیات پر بات کرتے ہیں۔
اگر ہم اوپر کی مساوات میں t = 0 رکھیں تو ہم کو 1 ملتا ہے۔ ریاضیاتی طور پر ہم لکھ سکتے ہیں θ(0) =1۔
اگر ہم θ(t) میں t = -t رکھیں تو ہم کو θ(t) کا انسٹرویس ملتا ہے۔ ریاضیاتی طور پر ہم لکھ سکتے ہیں θ(-t) = [θ(t)]-1۔
ہمیں ایک اور اہم خصوصیت [θ(t)]n = θ(nt) ہے۔
